Partícula en una caja
En mecánica clásica, la solución al problema es trivial: la partícula se mueve en una línea recta a una velocidad constante hasta que rebota en una de las paredes.
Al rebotar, la velocidad cambia de sentido cambiando de signo la componente paralela a la dirección perpendicular a la pared y manteniéndose la velocidad paralela a la pared, sin embargo, no hay cambio en el módulo de la misma velocidad.
Sin embargo, aun así es un problema simple con una solución definida.
Este artículo se concentra en la solución dentro de la mecánica cuántica.
El problema puede plantearse en cualquier número de dimensiones, pero el más simple es el problema unidimensional, mientras que el más útil es el que se centra en una caja tridimensional.
En términos de la física, la partícula en una caja se define como una partícula puntual, encerrada en una caja donde no experimenta ningún tipo de fuerza (es decir, su energía potencial es constante, aunque sin pérdida de generalidad podemos considerar que vale cero).
En las paredes de la caja, el potencial aumenta hasta un valor infinito, haciéndola impenetrable.
Como se menciona más arriba, si estuviéramos estudiando el problema bajo las reglas de la mecánica clásica, deberíamos aplicar las leyes del movimiento de Newton a las condiciones iniciales, y el resultado sería razonable e intuitivo.
En mecánica cuántica, cuando se aplica la ecuación de Schrödinger, los resultados no son intuitivos.
Ambos resultados difieren de la manera usual en la que percibimos al mundo, incluso si están fundamentados por principios extensivamente verificados a través de experimentos.
La versión más sencilla se da en la situación idealizada de una "caja monodimensional", en la que la partícula de masa m puede ocupar cualquier posición en el intervalo [0,L].
Para encontrar los posibles estados estacionarios es necesario plantear la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión para el problema.
Nótese que solo son posibles los niveles de energía "cuantizados".
Además, como n no puede ser cero (ver más adelante), el menor valor de la energía tampoco puede serlo.
Esta energía mínima se llama energía del punto cero y se justifica en términos del principio de incertidumbre.
Debido a que la partícula se encuentra restringida a moverse en una región finita, la varianza de la posición tiene un límite superior (la longitud de la caja,
La ecuación de Schrödinger anterior es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, cuya solución general es:
Donde, A y B son, en general, números complejos que deberán escogerse para cumplir las condiciones de contorno.
Por otro lado, la solución particular del problema (1) se obtiene imponiendo las condiciones de contorno apropiadas, lo que permite obtener los valores de A y B.
en cualquier lugar (es decir, la partícula no está en la caja).
Como sabemos que la partícula se encuentra en algún lugar del espacio, y como
De aquí se deduce que A es cualquier número complejo con valor absoluto
Por último, sustituyendo estos resultados en la solución general obtenemos el conjunto completo de autofunciones y energías para el problema de la partícula en una caja monodimensional, resumido en (1b).
En esta sección consideraremos que el volumen encerrado por la caja en la que se mueve la partícula es un ortoedro de lados Lx, Ly y Lz, la elección de esa forma simplifica el problema concreto ya que podemos usar fácilmente las coordenadas cartesianas para resolver el problema.
Los estados estacionarios de este sistema físico consistente en una partícula material atrapada en una caja son aquellos que satisfacen la ecuación de Schrödinger con las siguientes condiciones: (2)
Los valores posibles de la energía están cuantizados y vienen dados por:
Por ejemplo, cuando dos o más lados son iguales, existen varias funciones de onda a las que les corresponde el mismo valor de la energía (se dice que los niveles de energía están degenerados).
En este caso se dice que el nivel de energía está doblemente degenerado.
En esta sección consideraremos una cavidad esférica de radio R y resolveremos el mismo problema empleando coordenadas esféricas que facilitan muchísimo la resolución de la ecuación de Schrödinger del problema: (3)
Para otros valores de l el resultado es más complejo.
