El tensor métrico, en relatividad general, y en este contexto, a menudo abreviado simplemente como métrica, es un invariante relativista infinitesimal con la dimensión de una longitud.
Matemáticamente, es un tensor métrico relativo a la variedad diferencial que representa el espacio-tiempo físico.La métrica captura toda la estructura geométrica y causal del espacio-tiempo, utilizándose para definir nociones como tiempo, distancia, volumen, curvatura, ángulo y separación del futuro y el pasado.
En relatividad general, una métrica, en un sistema de referencia, contiene toda la información sobre la gravitación tal como se percibe en él.
El tensor métrico desempeña el papel del potencial gravitatorio en la teoría clásica de la gravitación, aunque el contenido físico de las ecuaciones asociadas es completamente diferente.
[1] Para Gutfreund y Renn: "en la relatividad general, el potencial gravitatorio está representado por el tensor métrico".
[2] Este artículo trabaja con una firma métrica que es en su mayoría positiva (− + + +).
También se emplea el convenio de suma de Einstein, donde los índices repetidos se suman automáticamente.
Matemáticamente, el espacio-tiempo está representado por una variedad diferenciable de cuatro dimensiones
y el tensor métrico viene dado como un tensor covariante, de segundo grado, simétrico sobre
Además, se requiere que la métrica sea no degenerada con la firma (− + + +).
Explícitamente, el tensor métrico es una forma bilineal simétrica en cada espacio tangente de
A diferencia del espacio euclídeo, donde el producto escalar es definido positivo, la métrica es indefinida y confiere a cada espacio tangente la estructura del espacio de Minkowski.
El tensor métrico desempeña un papel fundamental en la manipulación de índices.
proporcionan un vínculo entre los componentes covariante y contravariante de otros tensores.
Contraer el índice contravariante de un tensor con uno de un coeficiente tensor métrico covariante tiene el efecto de reducir el índice:
y de manera similar, un coeficiente métrico contravariante eleva el índice:
La aplicación de esta propiedad de subir y bajar índices a los propios componentes del tensor métrico conduce a la propiedad:
; es decir, los vectores base son ortogonales entre sí), esto implica que un coeficiente covariante dado del tensor métrico es el inverso del coeficiente contravariante correspondiente:
La métrica g induce una forma de volumen natural (hasta un signo), que puede utilizarse para integrar sobre un dominio de una variedad.
para la variedad, la forma de volumen puede escribirse:
determina completamente la curvatura del espacio-tiempo.
Según el teorema fundamental de la geometría de Riemann, existe una conexión única ∇ en cualquier variedad seudoriemanniana que sea compatible con la métrica y esté libre de torsión.
Entonces, la curvatura del espacio-tiempo viene dada por el tensor de curvatura de Riemann, que se define en términos de la conexión Levi-Civita ∇.
En coordenadas locales este tensor viene dado por:
La curvatura es entonces expresable puramente en términos de la métrica
Una de las ideas centrales de la relatividad general es que la métrica (y la geometría asociada del espacio-tiempo) viene determinada por el contenido de materia y energía del espacio-tiempo.
Las ecuaciones del campo de Einstein:
y la curvatura escalar de Ricci:
relacionan la métrica (y los tensores de curvatura asociados) con el tensor de energía-impulso
Esta ecuación tensorial es un complicado conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para los componentes de las métricas.