Tensor de torsión
VectoresEn geometría diferencial, el tensor de torsión es un tipo de tensor que está asociado a cualquier conexión afín.
que representa el desplazamiento dentro de un espacio tangente cuando el espacio tangente se desarrolla (o se hace rodar) en un paralelogramo infinitesimal cuyos lados son
Dado un sistema de líneas geodésicas parametrizadas, se puede especificar una clase de conexiones afines que tengan esas geodésicas, pero que se diferencien por sus torsiones.
Existe una conexión única que absorbe la torsión, generalizando la conexión de Levi-Civita a otras situaciones posiblemente no métricas (como la geometría de Finsler).
Sea M una variedad con una conexión afín en un fibrado tangente (también conocida como derivada covariante) ∇.
Según la regla de Leibniz, T(fX, Y) = T(X, fY) = fT( X, Y) para cualquier función infinitamente diferenciable f. Entonces, T es un campo tensorial, a pesar de estar definido en términos de una conexión, que es un operador diferencial de primer orden: genera una 2-forma en vectores tangentes, mientras que la derivada covariante solo se define para campos vectoriales.
en términos de una base local (e1, ..., en) de secciones del haz tangente se pueden derivar estableciendo X= ei, Y= ej e introduciendo los coeficientes del conmutador γkijek := [ei, ej].
son los símbolos de Christoffel que definen la conexión.
Si la base es holonómica, los corchetes de Lie se anulan, por lo que
En particular (véase más abajo), mientras que las ecuaciones geodésicas determinan la parte simétrica de la conexión, el tensor de torsión determina la parte antisimétrica.
Se puede demostrar fácilmente que Θi se transforma tensorialmente en el sentido de que si un sistema de referencia diferente para alguna función matricial invertible (gji), entonces En otros términos, Θ es un tensor del tipo (1, 2) (que lleva un índice contravariante y dos covariantes).
Para cada vector fijo X ∈ TM, T define un elemento T(X) de Hom(TM, TM) vía Entonces, (tr T)(X) se define como la traza de este endomorfismo.
El tensor de curvatura de ∇ es una aplicación TM × TM → End(TM) definida en los campos vectoriales X, Y y Z por Para vectores en un punto, esta definición es independiente de cómo se extienden los vectores a campos vectoriales alejados del punto (por lo tanto, define un tensor, muy parecido al de torsión).
la suma cíclica sobre X, Y y Z. Por ejemplo, Entonces se cumplen las siguientes identidades La forma de curvatura es una 2-forma con valor gl(n) donde, nuevamente, D denota la derivada covariante exterior.
[9] Por ejemplo, considérese hacer rodar un plano sobre una pequeña circunferencia trazada en una esfera.
Resulta que el plano habrá girado (a pesar de no haber ningún giro al hacerlo rodar), efecto debido a la curvatura de la esfera.
Por otro lado, si el plano rodara en la esfera, pero se le permitiera deslizar o girar en el proceso, entonces la trayectoria que traza la circunferencia en el plano podría ser una curva mucho más general que ni siquiera necesitaría cerrarse.
Así, el tensor de torsión se puede entender intuitivamente tomando un pequeño circuito conforma de paralelogramo con los lados dados por los vectores v y w, en un espacio y haciendo rodar el espacio tangente en cada uno de los cuatro lados del paralelogramo, marcando el punto de contacto a medida que avanza.
Es antisimétrico en los argumentos v y w, un reflejo del hecho de que atravesar el circuito en el sentido opuesto deshace el desplazamiento original, de la misma manera que hacer girar un tornillo en sentidos opuestos hace que se desplace en sentidos opuestos.
Sobre él, se coloca una conexión que es plana, pero con torsión distinta de cero, definida en el sistema de referencia euclídeo estándar
, a medida que se traslada en el eje
[10] Supóngase que se da un bucle cerrado suave por partes
satisfacen la ecuación diferencial Si la torsión es cero, entonces la curva desarrollada
Por otro lado, si la torsión es distinta de cero, entonces la curva desarrollada puede no estar cerrada, por lo que
Este desplazamiento es directamente análogo al vector de Burgers en cristalografía.
[13] La vid en sí está modelada como un par de filamentos elásticos enrollados uno alrededor del otro.
Pero la enredadera también se puede estirar para maximizar su extensión (o longitud).
En fluidodinámica, la torsión está naturalmente asociada a los vórtices.
y Estas son las ecuaciones que satisface un medio continuo en equilibrio con densidad de momento
Cada geodésica está determinada de forma única por su vector tangente inicial en el tiempo t= 0,
