Fuerza de marea
Este hecho altera la forma del cuerpo grande sin cambiar su volumen.
Suponiendo que inicialmente la forma era una esfera, la fuerza de marea tenderá a convertirla en un elipsoide.
La masa lunar representa una fracción apreciable del sistema Tierra-Luna, un 1:81 aproximadamente.
La masa de la Luna es suficientemente grande y está suficientemente cerca como para elevar mareas sobre la Tierra: las masas terrestres, y en particular el agua de los océanos, se abulta en los dos extremos de un eje que pasa por los centros de gravedad de la Tierra y la Luna.
Este abultamiento sigue de cerca a la Luna en su órbita, pero la Tierra no está estática, sino que rota, completando un giro una vez al día.
Esta rotación terrestre arrastra la posición del abultamiento, situándolo ligeramente por delante del eje entre la Tierra y la Luna.
Como consecuencia de esta desviación, una cantidad considerable de la masa del abultamiento no se encuentra alineada con el eje Tierra-Luna, lo que ocasiona una atracción gravitatoria extra en la dirección perpendicular a la línea que une la Tierra y la Luna, y por tanto, creando un par de fuerzas entre la Tierra y la Luna.
Este par está acelerando a la Luna en su órbita, y desacelerando la rotación de la Tierra.
Como resultado de estos cambios el día medio solar, que nominalmente tiene 86400 segundos, se está volviendo progresivamente más largo, y su incremento es actualmente medible mediante relojes atómicos de gran precisión.
En ese caso, la Luna estaría siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre.
Esta situación de hecho ya se da en el sistema formado por Plutón y su satélite Caronte.
Hasta un alto orden de aproximación las perturbaciones gravitacionales entre los planetas del sistema solar sólo causan variaciones en las órbitas cuyos efectos oscilan entre un valor máximo y un valor mínimo.
En cambio el efecto de las fuerzas de marea da lugar a un término cuadrático en las ecuaciones que lleva a un crecimiento no acotado.
Otro contexto totalmente diferente en el que aparecen fuerzas de marea, no relacionadas directamente con las perturbaciones gravitatorias de dos planetas o un planeta y un satélite cercanos es la relatividad general.
En relatividad general, las fuerzas de marea son particularmente importantes, ya que, más que un efecto secundario, proporcionan el ingrediente básico para la formulación de la teoría.
Para precisar estas ideas consideremos una familia uniparamétrica de geodésicas:
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\gamma _{s}:\mathbb {R} \to {\mathcal {M}}|,s\in [a,b]\}}
es el espacio-tiempo curvo en el que existe el campo gravitatorio.
Consideremos que las curvas están parametrizadas a lo largo de su longitud mediante el tiempo coordenado t y consideremos el campo vectorial de vectores tangentes a estas curvas T y el campo vectorial de separación X perpendicular en todo punto a las líneas geodésicas:
Si se sigue la evolución de estas líneas geodésicas estas alteran su distancia a un ritmo dado por la curvatura del espacio tiempo: (1)
Bajo ciertas condiciones sobre el tensor de energía impulso puede probarse que las geodésicas dirigidas hacia el futuro tienden a acercarse unas a otras, tal como corresponde al hecho de que la gravedad normalmente tiene un efecto atractivo.
En esas condiciones la métrica del espacio-tiempo alrededor de ese planeta es precisamente la métrica de Schwarzschild, que en coordenadas cuasi-esféricas tiene la forma:
Si consideramos un pequeño cuerpo cuyo centro de gravedad cae aproximadamente según una geodésica radial tenemos que su cuadrivelocidad coincidirá con el vector tangente a dicha geodésica:
Donde el punto indica la derivada respecto al tiempo propio de la partícula:
Las fuerzas por unidad de masa dentro del sólido debidas a las fuerzas de marea no serán iguales en todas direcciones.
Las fuerzas sobre un plano que pase por el centro de gravedad del cuerpo cuyo vector normal venga dado por
Calculando las componentes no nulas del tensor de Riemann y teniendo en cuenta que el vector de separación es espacial
, asumiendo sin pérdida de generalidad que el cuerpo está sobre el plano ecuatorial, se llega a:
Las componentes no nulas del tensor que aparecen en las expresiones anteriores son:
Si consideramos ahora dos partículas puntuales que caen desde el reposo y desde la misma altura convergiendo hasta el centro de la tierra sufrirán un acercamiento relativo, que será visto como una fuerza de marea efectiva cuyo valor en el instante inicial es:
