La fórmula es válida para matrices con entradas de cualquier anillo conmutativo.
Entonces, la fórmula de Cauchy–Binet dice que Por ejemplo, tomando
, un valor dado por el lado derecho de la fórmula.
es el conjunto vacío, y la fórmula dice que
(su lado derecho es una suma vacía); es cierto que en este caso el rango de la matriz
(un conjunto unitario), entonces la suma sólo implica que
son matrices vacías (pero de diferentes formas si
, el producto escalar del par de vectores representados por las matrices.
para el cual la fórmula declara una igualdad no trivial es
{\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}}}
, el lado derecho siempre será igual a cero.
La siguiente demostración fue postulada por Terence Tao en 2012, y depende en dos hechos que pueden ser probados de varias formas:[1] Ahora, si comparamos el coeficiente de
, mientras que el lado derecho dará el término constante de
Hay varias demostraciones que pueden probar la fórmula de Cauchy–Binet.
Sólo su multilinearidad con respecto a las filas y las columnas, y su propiedad alternante (cancelándose en la presencia de filas o columnas iguales) son utilizadas; particularmente, la propiedad multiplicativa de determinantes para matrices cuadradas no es utilizada, pero está más bien establecido (el caso
La demostración es válida para anillos de coeficientes conmutativos arbitrarios.
en efecto dependen linealmente de la fila o columna.
dejando el resto intacto únicamente afecta la fila o columna correspondiente del producto
Las sumas múltiples resultantes son enormes, pero tienen la misma forma para ambos lados: términos correspondientes incluyen el mismo factor escalar (cada uno es producto de entradas de
), y estos términos sólo difieren al involucrar dos expresiones diferentes en términos de matrices constantes del tipo descrito arriba, cuyas expresiones deberán ser iguales, de acuerdo a la fórmula de Cauchy–Binet.
Esto logra la reducción del primer paso.
Concretamente, las múltiples sumas pueden ser agrupadas en dos sumatorias, una sobre todas las funciones
da un índice de columnas correspondiente, y otro sobre todas las funciones
da como resultado un índice de filas correspondiente.
en el lado derecho es cero a menos que
Utilizando multilinearidad con respecto a ambas las filas de
en la demostración no es necesario; uno podría utilizar solo uno de ellos, digamos el primero, y utilizar que el producto de matrices
es inyectiva), o de que tenga al menos dos filas iguales.
el paralelótopo es reducido a un vector singular y su volumen es longitud.
La fórmula de Cauchy–Binet puede ser extendida directamente en una fórmula directa para los menores del producto de dos matrices.