E8 (matemáticas)
Su álgebra de Lie es formulada con la notación
La estructura E8 fue descubierta en 1887 por el matemático noruego Sophus Lie para estudiar las simetrías.
Es también el nombre dado al correspondiente sistema de generadores y al grupo de Weyl-Coxeter y a algunos grupos de Chevalley simples y finitos.
Aunque el sistema E8 fue previsto por Lie, fue Wilhelm Killing (entre 1888-1890) quien le dio la denominación e interpretación más precisa con que actualmente es identificado.
se debe a las clasificaciones de las álgebras de Lie simples y complejas de Wilhelm Killing y Élie Cartan, las cuales comprenden cuatro familias infinitas llamadas
y cinco casi excepcionales, llamadas
Los generadores son, entonces, vectores de dimensión 8 (serán observados más adelante en el presente artículo).
E8 y el único grupo de Lie simple en el cual la representación no banal de mínima dimensión es la llamada adjoint action (acción adjunta), la cual actúa sobre el álgebra E8 misma.
El valor de estos polinomios calculados en 1 da los coeficientes de las matrices relativas a la representación estándar (cuyos caracteres son fáciles de describir merced a las representaciones irreducibles).
Estas matrices fueron calculadas tras cuatro años con la colaboración de un equipo denominado Atlas of Lie groups an Representations que reunió a 18 matemáticos e informáticos dirigidos por Jeffrey Adams y con gran parte de la programación hecha por Fokko du Cloux y Marc van Leeuwen.
Se puede construir la forma compacta del grupo E8 como el grupo de automorfismos del álgebra de Lie
entonces se puede escribir explícitamente las relaciones definitorias
Este nombre procede de que tal plan puede construirse utilizando un álgebra que está construida como producto tensorial de los octoniones y con ellos mismos.
Este tipo de construcción ha sido analizada detalladamente por Hans Freudenthal y Jacques Tits en su construcción del cuadro mágico o cuadrado mágico.
Esto se puede observar bajo la sucesión de inclusiones Por lo demás, el grupo E8 aparece frecuentemente en teoría de las cuerdas y en supergravedad.
En la teoría de las cuerdas heteróticas une formulación hace aparecer
(bajo forma compacta) como grupo de Gauge.
De otra parte, en cuanto que la supergravedad maximal está considerada como compactificada o resabiada sobre un toro de dimensión 8 entonces la teoría resultante en dimensión tres posee una simetría global E8 (es decir: la forma desplegada o maximalmente no-compactada).
Esto ha sugerido que una versión discreta, cuya notación es
Además se debe añadir a esto las 128 ponderaciones de la representación espinorial
Siempre con la misma base, estos son representados por los vectores de modo que la suma de todas las coordenadas sea pareja.
Así éstas son del número
Por abuso de lenguaje se ha considerado también en ocasiones al vector nulo como una raíz nula asociada al subálgebra de Cartan.
De este modo se describe bien a los 248 generadores del álgebra
[1] Entre los objetos subyacentes en los grupos de Lie, se encuentra toda suerte de figuras geométricas como por ejemplo esferas, conos y cilindros del espacio tridimensional.
ha sido crítico para comprender los fenómenos en numerosos dominios de las matemáticas incluyendo el álgebra, la geometría, la física, la teoría de los números así como en la química», ha comentado Peter Sarnak, profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton y présidente del comité científico del AIM.
Por ejemplo para llegar al cálculo de G8 una sola operación ha necesitado 77 horas en un supercomputador dotado de 200 Gbytes de memoria RAM, y ha producido un resultado del orden de 60 GBytes por lo que esta magnitud puede ser comparada a 60 veces a la requerida para el genoma humano (el conjunto de datos del genoma representa un volumen de 1 Gbyte).
Cada elemento produce un subconjunto del resultado y su reunión permite hallar la solución completa.
Así en verano de 2006 tres integrantes del equipo de investigadores, entre ellos Fokko du Cloux, han descompuesto el programa en numerosos elementos.
Algunas nociones respecto a la magnitud del resultado final:[1]
