En matemáticas, un álgebra de Lie
es soluble si su serie derivada termina en la subálgebra cero.
La serie derivada es la secuencia de subálgebras:
Si la serie derivada llega finalmente a la subálgebra cero, entonces el álgebra de Lie se llama soluble.
[1] La serie derivada para álgebras de Lie es análoga a la serie derivada del subgrupo conmutador en teoría de grupos, y las álgebras de Lie solubles son análogas a los grupos solubles.
Cualquier álgebra de Lie nilpotente es a fortiori soluble, pero lo contrario no es cierto.
Las álgebras de Lie solubles y las álgebras de Lie semisimples forman dos clases numerosas y generalmente complementarias, como lo demuestra la descomposición de Levi.
Las álgebras de Lie solubles son precisamente las que se pueden obtener a partir de productos semidirectos, partiendo de 0 y añadiendo una dimensión cada vez.
El mayor ideal soluble de un álgebra de Lie se llama radical.
es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, y
es un álgebra de Lie soluble, y si
, entonces existe un vector propio simultáneo
se llama completamente soluble o soluble por partes si tiene una secuencia elemental de ideales en
Un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es completamente soluble, y un álgebra de Lie completamente soluble es soluble.
Sin embargo, sobre un cuerpo que no sea algebraicamente cerrado esto no sucede, por ejemplo, el álgebra de Lie real de tres dimensiones del grupo de isometrías euclidianas del plano es soluble, pero no completamente soluble.
Un álgebra de Lie soluble
es soluble por partes si y sólo si los valores propios de
[2] Toda álgebra de Lie abeliana
es resoluble por definición, ya que su conmutador
, que son de la forma
La estructura del álgebra de Lie en un espacio vectorial
es otro ejemplo de álgebra abeliana.
Algunos ejemplos incluyen las matrices triangulares superiores, tales como la clase de matrices de la forma
forman un álgebra de Lie soluble.
Esto incluye a las matrices de la forma
[2] Esta álgebra es isomorfa al álgebra de Lie del grupo de traslaciones y rotaciones en el plano.
Un álgebra de Lie semisimple
nunca es soluble ya que su radical
, que es el ideal soluble más grande en
[1] página 11 Debido a que el término "soluble" también se usa para grupo solubles en teoría de grupos, hay varias definiciones posibles de grupo de Lie soluble Para un grupo de Lie