es el mayor ideal soluble de
r a d
, se ajusta a la sucesión exacta donde
r a d
es un álgebra de Lie semisimple.
Cuando el cuerpo base tiene característica cero y
tiene dimensión finita, el teorema de Levi afirma que esta sucesión exacta es divisible; es decir, existe una subálgebra (necesariamente semisimple) de
que es isomorfa al cociente semisimple
r a d
a través de la restricción del mapa del cociente
r a d
Una noción similar es la de subálgebra de Borel, que es una subálgebra (no necesariamente única) maximalmente soluble.
un cuerpo algebraico y sea
, entonces existe un único ideal soluble máximo, llamado radical, por la siguiente razón: En primer lugar, sean
dos ideales solubles de
, y es soluble porque es una extensión de
Consideremos ahora la suma de todos los ideales solubles de
Es no vacía ya que
es un ideal soluble, y es un ideal soluble por la propiedad de la suma que acabamos de derivar.
Es evidente que es el único ideal soluble máximo.