La primera de ellas el radical del álgebra, el ideal soluble máximo, y la otra es una subálgebra semisimple, llamada subálgebra de Levi.
Hasta cierto punto, la descomposición puede utilizarse para reducir los problemas sobre álgebras de Lie de dimensión finita y grupos de Lie a problemas separados sobre álgebras de Lie en estas dos clases especiales, solubles y semisimples.
Además, Malcev (1942) demostró que dos subálgebras de Levi cualesquiera son conjugadas por un automorfismo (interno) de la forma donde
Un resultado análogo es válido para las álgebras asociativas y se llama el teorema principal de Wedderburn.
Afirmaciones análogas son válidas para grupos de Lie simplemente conexos, y, como demostró George Mostow, para álgebras de Lie y grupos algebraicos simplemente conexos sobre un cuerpo de característica cero.