Función inversa
En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f -1 que realice el camino de vuelta de J a I.
En ese caso diremos que f -1 es la función completamente opuesta a la original inversa de f. Sea
una función real biyectiva cuyo responsable o dominio sea el conjunto
y cuya imagen sea el conjunto
Entonces, la función inversa de
, es la función de dominio
definida por la siguiente regla: Destaquemos que
, al igual que
, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por
y que cumple: De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.
Dadas dos aplicaciones y las propiedades: entonces: Este último punto se usa como definición de función inversa.
La notación tradicional
puede ser confusa, ya que puede dar a entender
Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella: Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número
f ∘ g ( x ) = g ∘ f ( x ) = x
{\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\x\mapsto x^{2}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}\\x\mapsto {\sqrt {x}}\end{cases}}\qquad f\circ g(x)=g\circ f(x)=x}
Se generaliza el concepto de función a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.
+ 2 arctan ( x
+ 1 ) + 2 arctan ( x
{\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} \to [-1,1]\\x\mapsto {\cfrac {1}{2\pi }}\left[\ln \left({\cfrac {x^{2}+x{\sqrt {2}}+1}{x^{2}-x{\sqrt {2}}+1}}\right)+2\arctan(x{\sqrt {2}}+1)+2\arctan(x{\sqrt {2}}-1)\right]=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{k}x^{k}}{4k+1}}\end{cases}}}
Aunque la función inversa se puede aproximar mediante desarrollo en serie de Taylor:
