Esta identidad se extiende a los exponentes de valores complejos.

con la identidad multiplicativa fundamental, junto con la definición del número e como e1, muestra que

para enteros positivos n y relaciona la función exponencial con la noción elemental de exponenciación.

[3]​ En los ajustes aplicados, las funciones exponenciales modelan una relación en la que un cambio constante en la variable independiente proporciona el mismo cambio proporcional (es decir, aumento o disminución de porcentaje) en la variable dependiente.

Esto ocurre ampliamente en las ciencias naturales y sociales; por lo tanto, la función exponencial también aparece en una variedad de contextos dentro de la física, la química, la ingeniería, la biología matemática y la economía.

para todas las x reales, lo que lleva a otra caracterización común de

como la única solución de la ecuación diferencial satisfaciendo la condición inicial

Basándose en esta caracterización, la regla de la cadena muestra que su función inversa, el logaritmo natural, satisface

Esta relación lleva a una definición menos común de la función exponencial real

Una de esas situaciones es el interés continuamente compuesto, y de hecho, fue esta observación la que llevó a Jacob Bernoulli en 1683[8]​ al número ahora conocido como e.

Más tarde, en 1697, Johann Bernoulli estudió el cálculo de la función exponencial.

La fórmula de Euler relaciona sus valores en argumentos puramente imaginarios con funciones trigonométricas.

La importancia de la función exponencial en matemáticas y ciencias proviene principalmente de su definición como función única que es igual a su derivada y es igual a 1 cuando x = 0.

Otras formas de decir lo mismo incluyen: Si la tasa de crecimiento o decaimiento de una variable es proporcional a su tamaño, como es el caso del crecimiento poblacional ilimitado (ver catástrofe maltusiana), interés compuesto continuamente o decaimiento radiactivo, entonces la variable puede escribirse como una función exponencial por el tiempo.

Explícitamente para cualquier constante real k, una función f: R → R satisface f′ = kf si y solo si f (x) = cekx para alguna constante c. k, a function satisfies if and only if f(x) = cekx for some constant c. Además, para cualquier función diferenciable f(x), encontramos, por la regla de la cadena: Una fracción continua para ex puede obtenerse a través de una identidad de Euler: La siguiente fracción continua generalizada para ez converge más rápidamente:[9]​ o bien, aplicando la sustitución.

son reales, podríamos definir su exponencial como donde exp, cos y sen en el lado derecho del signo de definición deben interpretarse como funciones de una variable real, previamente definida por otros medios.

y el círculo unitario, es fácil ver que, restringido a argumentos reales, las definiciones de seno y coseno dadas anteriormente coinciden con sus definiciones más elementales basadas en nociones geométricas.

Esta distinción es problemática, ya que las funciones multivalor log z y zw se confunden fácilmente con sus equivalentes de un solo valor al sustituir un número real por z. La regla sobre la multiplicación de exponentes para el caso de números reales positivos debe modificarse en un contexto multivalor:

Cabe señalar dos casos especiales: cuando la línea original es paralela al eje real, la espiral resultante nunca se cierra sobre sí misma; cuando la línea original es paralela al eje imaginario, la espiral resultante es un círculo de algún radio.Considerando la función exponencial compleja como una función que involucra cuatro variables reales: La gráfica de la función exponencial es una superficie bidimensional que se curva a través de cuatro dimensiones.

La segunda imagen muestra cómo se mapea el plano complejo de dominio en el plano complejo de rango: La tercera y cuarta imágenes muestran cómo el gráfico en la segunda imagen se extiende en una de las otras dos dimensiones que no se muestran en la segunda imagen.

La tercera imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje real

La cuarta imagen muestra el gráfico extendido a lo largo del eje imaginario

positivos y negativos realmente no coinciden con el eje real

se han extendido a ± 2π, esta imagen también representa mejor la periodicidad 2π en el valor imaginario

La exponenciación compleja ab se puede definir convirtiendo a coordenadas polares y usando la identidad (eln(a))b = ab: Sin embargo, cuando b no es un número entero, esta función es multivalor, porque θ no es única.

Si se toma como base el número complejo a diferente de e, y como variable el exponente z, se tiene que la función exponencial general w = f(z)=

Es una familia de funciones unívocas, no ligadas entre sí, que se distinguen por los factores exp(2kπiz), siendo k cualquier número entero.

En esta configuración, e0 = 1, y ex es invertible con e inversa e−x para cualquier x en B.

Para n números complejos distintos {a1, …, an}, el conjunto {ea1z, …, eanz} es linealmente independiente sobre C(z).

La función ez es trascendental sobre C(z) Al computar (una aproximación de) la función exponencial, si el argumento está cerca de 0, el resultado será cercano a 1, y computar la diferencia