Teorema de Euclides-Euler
El teorema lleva el nombre de los matemáticos Euclides y Leonhard Euler, que demostraron respectivamente los aspectos "si" y "sólo si" del teorema.
Se ha conjeturado que existen infinitos números primos de Mersenne.
Sin embargo, también se desconoce si existe incluso un único número perfecto impar.
[1] Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios, los números que son menores que él y lo dividen en partes iguales (con resto cero).
Para que un número de esta forma sea primo, el propio
Por ejemplo, 23 − 1 = 7 es un primo de Mersenne, pero 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 no lo es.
El teorema de Euclides–Euler afirma que un número natural par es perfecto si y sólo si tiene la forma
es un número par perfecto siempre que
Euclides expresa el resultado afirmando que si una serie geométrica finita que comienza en 1 y tiene razón 2 tiene una suma prima
, entonces esta suma multiplicada por el último término
, con el mismo número de términos, es proporcional a la serie original; por tanto, como la serie original suma
, el doble del número perfecto supuesto.
Sin embargo, estas dos series son disjuntas entre sí y (por ser
primo) agotan todos los divisores de
es primo, pero no pudo demostrar este resultado.
[3] No fue hasta el siglo XVIII, más de 2.000 años después de Euclides,[4] cuando Leonhard Euler demostró que la fórmula
da lugar a todos los números perfectos pares.
[1][5] Así pues, existe una relación biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne; cada primo de Mersenne genera un número perfecto par, y viceversa.
Después de la demostración de Euler del teorema de Euclides-Euler, otros matemáticos han publicado diferentes demostraciones, como Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Leonard Eugene Dickson, John Knopfmacher, and Wayne L. McDaniel.
[6] Este teorema se incluyó en una lista web de los "100 mejores teoremas matemáticos", que data de 1999, y que más tarde fue utilizada por Freek Wiedijk como benchmark para probar la potencia de diferentes asistentes de demostración .
son dos enteros cualesquiera primos entre sí, entonces
Para que esta fórmula sea válida, la suma de los divisores de un número debe incluir el propio número, no sólo los divisores propios.
Un número es perfecto si y sólo si su suma de divisores es el doble de su valor.
Un sentido del teorema (la parte ya demostrada por Euclides) se deduce inmediatamente de la propiedad multiplicativa: todo primo de Mersenne da lugar a un número perfecto par.
[8][9][10] En el otro sentido, supongamos que se ha dado un número perfecto par, y lo factorizamos parcialmente como
sea perfecto, la suma de su divisores tiene que ser dos veces su valor:
en el lado derecho de (∗) es al menos 3, y tiene que dividir a
Dividiendo ambos lados de (∗) por el factor común
y teniendo en cuenta los divisores conocidos
Para que esta igualdad sea cierta, no puede haber otros divisores.
