Números amigos
Los primeros diez pares de números amigos son: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) y (66928, 66992).
Los números amigos eran conocidos por los pitagóricos, quienes les atribuían muchas propiedades místicas.
El matemático iraquí Thábit ibn Qurra (826–901) inventó una fórmula general mediante la cual se podían hallar algunos de estos números alrededor del año 850.
Otros matemáticos árabes que estudiaron los números amigos fueron al-Majriti (fallecido en 1007), al-Baghdadi (980–1037) y al-Fārisī (1260–1320).
[1] Gran parte del trabajo de la matemática islámica en esta área ha sido olvidado.
La fórmula de Thābit ibn Qurra fue redescubierta por Fermat (1601–1665) y Descartes (1596–1650), a quienes a veces se les atribuye, y extendida por Euler (1707–1783).
Fermat y Descartes también redescubrieron pares de números amigos conocidos por los matemáticos árabes.
[2] El segundo par más pequeño, (1184, 1210), fue descubierto en 1867 por B. Nicolò I. Paganini (que no debe confundirse con el compositor y violinista), de 16 años, después de haber sido pasado por alto por matemáticos anteriores.
Se han realizado búsquedas exhaustivas para encontrar todos los pares por debajo de un límite dado, extendiéndose este límite desde 108 en 1970, hasta 1010 en 1986, 1011 en 1993, 1017 en 2015 y hasta 1018 en 2016.
[5] Si bien estas reglas generan algunos pares de números amigos, se conocen muchos otros pares, por lo que estas reglas no son exhaustivas.
Para que la fórmula de Ibn Qurra produzca un par amigo, dos números de Thabit consecutivos deben ser primos; esto restringe severamente los posibles valores de n. Para establecer el teorema, Thâbit ibn Qurra demostró nueve lemas divididos en dos grupos.
El teorema de Thābit ibn Qurra corresponde al caso m = n − 1.
Una pareja de amigos (m, n) es gemela de otra si no hay números enteros entre m y n pertenecientes a otra pareja amiga (sucesión A273259 en OEIS).
Sin embargo, existen números amigos en los que los dos miembros tienen diferentes factores primos más pequeños: se conocen siete pares de este tipo.
[9] Además, cada par conocido comparte al menos un factor primo común.
No se sabe si existe un par de números amigos que sean números coprimos, aunque si los hay, el producto de los dos debe ser mayor que 1067.
[10] En 1968, Martin Gardner observó que la mayoría de las parejas de amigos conocidas en su época tienen sumas divisibles por 9,[11] y se obtuvo una regla para caracterizar las excepciones (sucesión A291550 en OEIS).
Esto se puede generalizar a tuplas más grandes, como por ejemplo
, donde se requiere que Por ejemplo, (1980, 2016, 2556) es un triplete de números amigos (sucesión A125490 en OEIS) y (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) es un (sucesión A036471 en OEIS) cuádruplete de números amigos.
Dos casos especiales son los bucles que representan a los números perfectos y ciclos de longitud dos que representan a números amigos.
