Sumatorio de Ramanujan

El sumatorio de Ramanujan es una técnica inventada por el matemático indio Srinivasa Ramanujan para asignar una suma a una serie divergente infinita.A pesar de que el sumatorio de Ramanujan de una serie divergente no es una suma en el sentido tradicional, ésta tiene propiedades que las hacen matemáticamente útiles en el estudio de series infinitas divergentes, para las cuales la suma normal no está definida.El sumatorio de Ramanujan se desarrolla esencialmente usando propiedades de las sumas parciales, en lugar de tomar propiedades de la suma global, la cual no existe.Usando el método de Euler–Maclaurin junto con la regla de corrección que hace uso de los números de Bernoulli, se obtiene: Ramanujan[1]​ reescribió éste para distintos límites de la integral y del sumatorio correspondiente, en el caso en el cual p tiende a infinito: donde C es una constante específica de la serie a tratar.Su continuación analítica y los límites de la integral no fueron especificados por Ramanujan, pero se supone que son los mencionados arriba.Comparando ambas fórmulas y asumiendo que R tiende a 0 y x tiende a infinito, se puede ver que, en un caso general, para funciones f(x) que no divergen en x = 0: donde Ramanujan asumió que a = 0., normalmente se puede recuperar la suma usual para series convergentes, así pues C(0) fue propuesta para su uso en la suma de la secuencia divergente.Usando extensiones estándar para series divergentes conocidas, Ramanujan calculó la «suma» de estas.En particular, la suma 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n +· · · es donde la notaciónindica que es un sumatorio de Ramanujan.Para potencias pares positivas, se obtiene: y para potencias impares positivas, se obtiene esta expresión, relacionada con los números de Bernoulli: En esencia, todos estos resultados son valores de la función zeta de Riemann para valores negativos de la misma, o sea: Recientemente, el uso de C(1) ha sido propuesto como sumatorio de Ramanujan, puesto que se puede asegurar que una serie) no coincide con la anterior definición de sumatorio de Ramanujan (C(0)) ni con la suma de series convergentes, pero tiene propiedades interesantes, tales como: Si R(x) tiende a un límite finito cuando x→1, entonces la serie