1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
La suma infinita cuyos términos son los números naturales 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ es una serie divergente.
La n-ésima suma parcial de la serie es el número triangular que incrementa sin límite mientras n tiende al infinito.
Varios métodos de suma se usan en matemáticas para asignarle valores numéricos a series divergentes.
Entre las series clásicas divergentes, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ es relativamente difícil de manipular hacia un valor finito.
Muchos métodos de suma se usan para asignar valores numéricos a las series divergentes, algunos son más poderosos que otros.
También es posible argumentar el valor de −1/12 usando heurísticas grosso modo relacionadas con estos métodos.
[7][8][9] la derivación más simple y menos rigurosa ocurre en dos pasos, de la siguiente forma.
Cualquiera que sea la "suma" de la serie, se puede llamar c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.
De acuerdo con esto, escribe Ramanujan: Al dividir ambos lados por -3, se obtiene c = −1/12.
Hablando de forma general, es incorrecto manipular series infinitas como si fueran sumas finitas.
Por ejemplo, si se insertaran ceros en posiciones arbitrarias de una serie divergente, es posible llegar a resultados que no son consistentes consigo mismos, menos aún con otros métodos.
En particular, el paso 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ no está justificado por la ley de la identidad aditiva.
Como ejemplo extremo, añadir un solo cero al inicio de la serie puede llevar a resultados inconsistentes.
La serie resultante puede ser manipulada con mayor rigor, y la variable s puede ser definida como −1 después.
Desde este punto, hay varias formas de probar que ζ(−1) = −1/12.
La función zeta está definida por una serie alternada de Dirichlet, así que este método es paralelo a la heurística previa.
sigue siendo verdadera cuando ambas funciones se extienden por continuación analítica para incluir valores de s para los cuales la serie arriba mencionada diverge.
La función de corte debe tener suficientes derivadas acotadas para suavizar los picos o "arrugas" de la serie, y debería decaer a 0 más rápido que lo que crece la serie.
Por conveniencia, se puede requerir que f sea una función continuamente diferenciable, acotada y con soporte compacto.
[15] Un método de sumación que es estable y lineal no puede sumar la serie 1 + 2 + 3 + ⋯ a ningún valor finito.
[16] (Estable quiere decir que añadir un término al inicio de la serie incrementa la suma por esa misma cantidad.)
Así que usando la serie divergente, la suma sobre todos los armónicos es −ħω(D − 2)/24.
Últimamente es este hecho, combinado con el teorema de Goddard-Thorn, que lleva a la teoría de cuerdas bosónica a fracasar en ser consistente con dimensiones que no sean 26.
[21] De acuerdo a Raymond Ayoub, el hecho de que la serie divergente zeta no es sumable por el método de Abel evitó que Euler usara la función zeta tan libremente como la función eta, y "no pudo asignarle un significado" a la serie.
[22] Otros autores le dan a Euler el crédito de esta suma, sugiriendo que Euler habría extendido la relación entre las funciones zeta y eta a los números enteros negativos.
Euler sugiere que las series de este tipo tienen sumas finitas y negativas, y explica lo que esto quiere decir para las series geométricas, pero no regresa a discutir 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.
Mientras Ruth se adentra en una derivación de la ecuación funcional de la función zeta, otro actor se dirige al público, admitiendo que son actores: "Pero las matemáticas son reales.
