[1] Existen varios métodos de suma diferentes denominados regularización de la función zeta para definir la suma de una serie posiblemente divergente a1 + a2 + .... Un método consiste en definir su suma regularizada zeta para que sea ζA(−1) si ésta está definida, donde la función zeta se define para grandes Re(s) por si esta suma converge, y por continuación analítica en los demás casos.
Este método fue utilizado por Euler para "sumar" la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ... a ζ(−1) = −1/12.
Hawking (1977) demostró que en el espacio plano, en el que se conocen los valores propios de los laplacianos, se puede calcular explícitamente la función zeta correspondiente a la función de partición.
Consideremos un campo escalar φ contenido en una gran caja de volumen V en el espaciotiempo plano a la temperatura T = β−1.
La función de partición se define mediante una integral de trayectoria sobre todos los campos φ en el espacio euclídeo obtenido poniendo τ = it que son cero en las paredes de la caja y que son periódicos en τ con periodo β.
Así, para tales operadores se puede definir el determinante utilizando la regularización de la función zeta.
[3] Hawking (1977) sugirió utilizar esta idea para evaluar integrales de trayectoria en espaciotiempos curvos.
[2] El primer ejemplo en el que se dispone de regularización de la función zeta aparece en el efecto Casimir, que se da en un espacio plano con las contribuciones del campo cuántico en tres dimensiones espaciales.
Sin embargo, se puede continuación analítica hasta s = -3, donde es de esperar que no haya ningún polo, dando así un valor finito a la expresión.
Un ejemplo detallado de esta regularización en el trabajo se da en el artículo sobre el ejemplo detallado del efecto Casimir, donde la suma resultante es muy explícitamente la función zeta de Riemann (y donde la continuación analítica aparentemente legerdemain elimina un infinito aditivo, dejando un número finito físicamente significativo).
En términos más generales, el enfoque de la función zeta puede utilizarse para regularizar todo el tensor energía-momento tanto en el espaciotiempo plano como en el curvo.
es la componente zeroth del tensor energía-momento y la suma (que puede ser una integral) se entiende que se extiende sobre todos los modos de energía (positivos y negativos)
; el valor absoluto nos recuerda que la energía se toma como positiva.
La suma puede ser regularizada escribiéndola como donde s es algún parámetro, tomado como número complejo.
Para grandes reales s mayores que 4 (para el espacio tridimensional), la suma es manifiestamente finita, y por lo tanto a menudo puede ser evaluada teóricamente.
[5] Sin embargo, la principal ventaja de la regularización zeta es que puede utilizarse siempre que falle la regularización dimensional, por ejemplo si hay matrices o tensores dentro de los cálculos.
La forma regularizada convierte las divergencias de la suma en polos simples en el plano complejo s. En cálculo numérico, la regularización de la función zeta es inapropiada, ya que su convergencia es extremadamente lenta.
Para propósitos numéricos, una suma de convergencia más rápida es la regularización exponencial, dada por Esto se llama a veces la transformada Z de f, donde z = exp(−t).
La estructura analítica de las regularizaciones exponencial y zeta están relacionadas.
a veces puede entenderse como valores propios del núcleo de calor.
[9] Emilio Elizalde y otros también han propuesto un método basado en la regularización zeta para las integrales