También es una de las herramientas principales en el estudio del espectro del operador de Laplace y, por lo tanto, tiene una importancia auxiliar en la física matemática.
El kernel de calor más conocido es el del espacio euclidiano
, que tiene la forma de una función gaussiana variable en el tiempo, Esto resuelve la ecuación del calor para todo t > 0 y
A saber, para cada función suave φ de soporte compacto, En un dominio más general
, tal fórmula explícita no es generalmente posible.
Sin embargo, el kernel de calor (por ejemplo, el problema de Dirichlet) todavía existe y es uniforme para t > 0 en dominios arbitrarios y de hecho en cualquier variedad de Riemann con límite, siempre que el límite sea suficientemente regular.
Más precisamente, en estos dominios más generales, el kernel de calor para el problema de Dirichlet es la solución del problema del valor límite inicial si
En esta área, consideramos que el operador positivo
dominio (Dirichlet, Neumann, mixto) que soluciona completamente el problema.
Entonces uno puede escribir introduciendo dos veces la relación de cierre:
La traza del kernel de calor se define por:[1]
Los estados propios están ortoromados, notamos que podemos escribir:
Esta relación está relacionada con muchas «fórmulas traza» como la geometría hiperbólica de Selberg o la aproximación semiclásica de Gutzwiller.
Su derivada es la densidad espectral de valores propios:
La traza del núcleo de calor está conectado a estas funciones mediante una transformación de Laplace:
Por analogía con la función zeta de Riemann, la función zeta espectral es introducida por la serie de tipo Dirichlet : que converge para
lo suficientemente grande Esta función zeta está conectada a la traza del núcleo de calor mediante una transformada de tipo Mellin:
donde la derivada de la función zeta se evalúa en s = 0.
No es difícil derivar una expresión formal para el kernel de calor en un dominio arbitrario.
Considere el problema de Dirichlet en un dominio conectado (o variedad con frontera)
son los valores propios para el problema de Dirichlet del Laplaciano Donde
denota las funciones propias asociadas, normalizadas para ser ortonormales en
es un operador compacto y autoadjunto, por lo que el teorema espectral implica que los valores propios satisfacen El kernel de calor tiene la siguiente expresión:
Sin embargo, la convergencia y la regularidad de la serie son bastante delicadas.
El término diagonal del núcleo de calor admite un desarrollo asintótico rápido.
son funciones suaves en M, que dependen de la métrica y sus derivadas en x.
Mediante la integración en todos los puntos x, se deduce que la traza del núcleo del calor también admite un desarrollo asintótico en un tiempo reducido:
Estas constantes muestran algunas características geométricas globales de
La existencia de un desarrollo asintótico puede extenderse a variedades suficientemente regulares con borde.
El teorema del mapeo espectral da una representación de