Función de von Mangoldt

En matemática, la Función de Von Mangoldt es una función aritmética, muy importante en teoría de números, que debe su nombre al matemático alemán Hans von Mangoldt.

La función de von Mangoldt, normalmente escrita como Λ(n), está definida de la siguiente manera:

{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{si }}n=p^{k}{\mbox{ para algun primo }}p{\mbox{ y entero }}k\geq 1,\\0&{\mbox{en cualquier otro caso.

Esta función es un ejemplo importante de función aritmética que no es ni multiplicativa ni aditiva.

La función de von Mangoldt cumple la siguiente identidad:[1]​

que es, la suma de todos los enteros d que dividen a n. Esto se puede demostrar mediante el teorema fundamental de la aritmética, Puesto que los términos que no son potencias de números primos son igual a 0.

von Mangoldt dio una demostración rigurosa de una fórmula explícita para ψ(x), utilizando una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann.

[2]​ Este fue un importante paso para la primera prueba del teorema de los números primos.

En particular, se muestra que para

La derivada logarítmica es entonces: Estos son casos especiales de una más general relación con las series de Dirichlet.

[1]​ Si uno define una función como: para una función completamente multiplicativa f(n), y la serie converge para todo