Se usa frecuentemente la función de Chebyshov en pruebas relacionadas con los números primos, ya que es más fácil de usar que la función contadora de primos,
, lo cual equivale al teorema de los números primos.
Ambas funciones se llaman así en recuerdo de Pafnuti Chebyshov.
Un teorema de Erhard Schmidt asegura que, para cualquier real, positivo K, existen valores de x tal que y se cumple en infinitas ocasiones.
[1][2] En notación O, podríamos expresar lo anterior como Hardy y Littlewood[2] probaron un resultado más fuerte: La segunda función de Chebyshov puede relacionarse con la primera escribiéndola como donde k es el único entero que cumple
Una relación más directa es la dada por Nótese que este última suma solo tiene un número finito de sumandos que no se cancelan, ya que La segunda función de Chebyshov es el logaritmo del mínimo común múltiplo de los enteros comprendidos entre 1 y n. La función de Chebyshov puede ser relacionada con la función
, de manera que la última relación se puede escribir en la forma La primera función de Chebyshov es el logaritmo del primorial de x, denotado por x#: Esto prueba que el primorial x# es asintóticamente igual a exp((1+o(1))x), donde "o" es el símbolo de Landau (o notación o-pequeña, véase notación O) y junto con el teorema de los números primos, establece un comportamiento asintótico de pn#.
La función suavizante se define como Se puede demostrar que En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt halló[3] una expresión explícita para
sobre todos los ceros no triviales de la función zeta,
, es decir, Pierre Dusart[4] probó los siguientes comportamientos asintóticos para las funciones de Chebyshov: Estas anteriores, junto con
, dan una buena caracterización de estas dos funciones.
La función de Chebyshov evaluada en x = exp(t) minimiza el funcional entonces para c > 0.