Grado de extensión de un cuerpo

En matemática, concretamente en teoría de cuerpos, el grado de extensión de un cuerpo es una medida aproximada del «tamaño» de la extensión.El concepto juega un papel importante en muchas partes de las matemáticas, incluyendo el álgebra y la teoría de números — de hecho, en cualquiera en la que los cuerpos aparezcan regularmente —.Suponga que L:K es una extensión de cuerpos.Entonces L puede ser considerado como un espacio vectorial sobre K (el cuerpo de los escalares).Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de{\displaystyle \dim _{K}(L)}Se denomina grado de la extensióna la dimensión de{\displaystyle [L:K]=\dim _{K}(L)}una extensión de, y seaun subcuerpo deque es a su vez extensión deEntonces se cumple que{\displaystyle [L:K]=[L:E][E:K]}i , jEsto demuestra quees un sistema generador delSupongamos ahora que tenemos una combinación lineales base delcualquiera que sea eles base del, cualesquiera que sean eles una familia libre del, con lo cual es una base decomo K-espacio vectorial, y su cardinal es{\displaystyle \dim _{K}(L)=\dim _{E}(L)\cdot \dim _{K}(E)}El grado de una extensión resulta muy útil para determinar si una extensión es algrebraica o trascendente.Concluimos que toda extensión trascendente tiene grado infinito, y que toda extensión de grado finito es algebraica.Ahora bien, puede ocurrir que una extensión de grado infinito sea algebraica.