En matemática, concretamente en teoría de cuerpos, el grado de extensión de un cuerpo es una medida aproximada del «tamaño» de la extensión.
El concepto juega un papel importante en muchas partes de las matemáticas, incluyendo el álgebra y la teoría de números — de hecho, en cualquiera en la que los cuerpos aparezcan regularmente —.
Suponga que L:K es una extensión de cuerpos.
Entonces L puede ser considerado como un espacio vectorial sobre K (el cuerpo de los escalares).
Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de
Se denomina grado de la extensión
a la dimensión de
que es a su vez extensión de
Entonces se cumple que
{\displaystyle [L:K]=[L:E][E:K]}
i , j
i , j
Esto demuestra que
es un sistema generador del
Supongamos ahora que tenemos una combinación lineal
i , j
i , j
{\displaystyle 0=\sum _{i\in I}\sum _{j\in J}\beta _{i,j}(\cdot e_{j}\cdot l_{i})=\sum _{i\in I}(\sum _{j\in J}\beta _{i,j}\cdot e_{j})\cdot l_{i}}
i , j
cualquiera que sea el
i , j
i , j
{\displaystyle b_{i,j}=0}
, cualesquiera que sean el
es una familia libre del
como K-espacio vectorial, y su cardinal es
{\displaystyle \dim _{K}(L)=\dim _{E}(L)\cdot \dim _{K}(E)}
El grado de una extensión resulta muy útil para determinar si una extensión es algrebraica o trascendente.
Concluimos que toda extensión trascendente tiene grado infinito, y que toda extensión de grado finito es algebraica.
Ahora bien, puede ocurrir que una extensión de grado infinito sea algebraica.