La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es una conjetura matemática, enunciada en 1965 por los matemáticos ingleses Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer.De esos resultados numéricos Bryan Birch y Swinnerton-Dyer conjeturaron que Np para una curva E con rango r obedecía una ley asintótica donde C es una constante.Inicialmente, se basó en algunas tendencias tenues en algunas gráficas trazadas, lo cual indujo una medida de escepticismo en J. W. S. Cassels (supervisor doctoral de Birch).Esto, a su vez, llevó a hacer una conjetura general sobre el comportamiento de la función L de una curva L( E ,s) en s = 1, es decir, que podría tener un cero de orden r en ese punto.Esta conjetura se hizo con visión de futuro en ese momento, dado que la continuación analítica de L( E,s) se estableció sólo para curvas bajo multiplicación compleja, las cuales eran también la principal fuente de ejemplos numéricos.
Una representación gráfica de
para la curva
y
2
=
x
3
− 5
x
cuando
X
varia sobre los primeros 100000 primos. El eje
X
es log(log(
X
)) y el eje
Y
está en una escala logarítmica, así, la conjetura predice que los datos podrían formar una línea de pendiente igual al rango de la curva, que es 1 en este caso. Como comparación, una línea de pendiente 1 ha sido dibujada en rojo sobre el gráfico.
