Swinnerton-Dyer escribió su primer artículo (sobre teoría de números) a los 16 años.

[2]​ Obtuvo una beca de investigación del Trinity College y en 1954 se trasladó a Chicago para estudiar con Antoni Zygmund, especialista en análisis armónico.

Sin embargo, tras conocer a André Weil reorientó sus intereses científicos hacia la teoría de números.

En 1967 fue elegido miembro ("Fellow") de la Royal Society,[2]​ que le concedió la Medalla Sylvester en 2006 "por sus trabajos fundamentales sobre geometría aritmética y sus numerosas contribuciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias".

[2]​ En 1987 fue nombrado Caballero Comendador de la Orden del Imperio Británico.

[2]​[7]​ Estaba casado desde 1983 con la arqueóloga Harriet Crawford (especializada en Sumer y Dilmún).