El polinomio MCD (salvo si se exceptúa la multiplicación por una constante invertible), es único.
La similitud entre el entero MCD y el polinomio MCD permite extender a polinomios de una variable todas las propiedades que se pueden deducir del algoritmo euclidiano y de la división euclídea.
Además, el polinomio MCD tiene propiedades específicas que lo convierten en una noción fundamental en diversas áreas del álgebra.
Son una herramienta fundamental en cálculo simbólico, porque los sistemas algebraicos computacionales los usan sistemáticamente para simplificar fracciones.
Sin embargo, algunos autores consideran que en este caso el MCD no está definido.
Con esta convención, el MCD de dos enteros también es el divisor común más grande (para el orden habitual).
Para polinomios de una sola variable sobre un cuerpo, se puede requerir adicionalmente que el MCD sea un polinomio mónico (es decir, que tenga 1 como su coeficiente del grado más alto), pero en casos más generales no existe una convención general.
Este será el MCD de los dos polinomios, ya que incluye todos los divisores comunes, y es mónico.
En este ejemplo, no es difícil evitar la introducción de denominadores factorizando 12 antes del segundo paso.
Este método funciona solo si se puede probar la igualdad a cero de los coeficientes que aparecen durante el cálculo.
Si los coeficientes son valores con coma flotante que representan números reales que se conocen solo aproximadamente, entonces se debe conocer el grado del MCD para obtener un resultado de cálculo bien definido (es decir, un resultado provisto de estabilidad numérica; en estos casos se pueden utilizar otras técnicas, generalmente basadas en descomposición en valores singulares.
Una tercera razón es que la teoría y los algoritmos para el caso de varias variables y para los coeficientes en un dominio de factorización única están fuertemente basados en este caso particular.
Además, q y r se definen de forma única por estas relaciones.
En cuanto a los números enteros, la división euclídea permite definir el algoritmo de Euclides para calcular los MCD.
Por lo tanto, después de como máximo deg(b) pasos, se obtiene un resto nulo, denominado rk.
Una aplicación importante del algoritmo MCD extendido es que permite calcular la división en extensiones algebraicas de cuerpos.
Más precisamente, los subresultantes se definen para polinomios sobre cualquier anillo conmutativo R, y tienen la siguiente propiedad.
Los subresultantes tienen dos propiedades importantes que los hacen fundamentales para el cálculo en computadoras del MCD de dos polinomios con coeficientes enteros.
No es obvio que, tal como se definen, los subresultantes tengan las propiedades deseadas.
Sin embargo, la demostración es bastante simple si se combinan las propiedades del álgebra lineal y las de los polinomios.
Por lo tanto, la recursividad sobre el número de variables muestra que si existen MCD y pueden calcularse en R, entonces existen y pueden calcularse en cada anillo polinomios de varias variables sobre R. En particular, si R es el anillo de los números enteros o un cuerpo, entonces los MCD existen en R[x1, ..., xn], y lo que precede proporciona un algoritmo para calcularlos.
Este control se puede hacer reemplazando lc(B) por su valor absoluto en la definición del pseudo-resto, o controlando el signo de α (si α divide a todos los coeficientes de un resto, lo mismo es cierto para –α).
La "secuencia primitiva de pseudo-restos" consiste en tomar por α el contenido del numerador.
El proceso consiste en elegir α de tal manera que cada ri sea un polinomio subresultante.
Con la misma entrada que en las secciones anteriores, los sucesivos restos son Los coeficientes tienen un tamaño razonable.
Se obtienen sin ningún cálculo del MCD, solo divisiones exactas.
En este algoritmo, la entrada (a, b) es un par de polinomios en Z[X].
Por ejemplo, la suma de dos números racionales cuyos denominadores están limitados por b conduce a un número racional cuyo denominador está limitado por b2, por lo que en el peor de los casos, el tamaño en bits podría casi duplicarse con solo una operación.
Para acelerar el cálculo, se debe tomar un anillo D para el que f y g están en D[x], y tomar un ideal I tal que D/I es un anillo finito.
Luego se calcula el MCD sobre este anillo finito con el algoritmo de euclides.