Aunque, hablando con propiedad, el álgebra computacional debe ser un subcampo de la computación científica, ellos son considerados generalmente campos distintos, porque la computación científica se basa generalmente en el análisis numérico con números aproximados en punto flotante; mientras que el álgebra computacional enfatiza el cálculo exacto con expresiones que contengan variables que no tienen cualquier valor dado y por lo tanto son manipulados como símbolos (de ahí se debe el nombre de cálculo simbólico).
En los comienzos del álgebra computacional, alrededor de 1970, cuando los algoritmos clásicos fueron puestos por primera vez en los ordenadores, resultaron ser altamente ineficientes.
Algunos autores distinguen álgebra computacional de cálculo simbólico usando el último nombre para hacer referencia a las clases de computación simbólica que no sean el cálculo con fórmulas matemáticas.
No existe una sociedad científica que sea específica del álgebra computacional, pero esta función es asumida por el grupo de interés especial de la ACM llamada SIGSAM (Special Interest Group on Symbolic and Algebraic Manipulation).
[3] Hay varias conferencias anuales sobre álgebra computacional, siendo el premier ISSAC (International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation), el cual es patrocinado regularmente por SIGSAM.
[4] Hay varias revistas especializadas en el álgebra computacional, siendo Journal of Symbolic Computation fundada en 1985 por Bruno Buchberger, una de las principales.
[5] Hay también otras varias revistas que publican regularmente artículos de álgebra computacional.
[6] Como software numérico son altamente eficientes para el análisis numérico aproximado; es común, en álgebra computacional, para enfatizar en el cálculo exacto de los datos exactamente representados.
Tal como una representación exacta, implica que, incluso cuando el tamaño de la salida es pequeño, entonces los datos intermedios que son generados durante un cálculo pueden crecer de un modo impredecible.
Para obviar este problema, se utilizan diversos métodos en la representación de los datos, así como en los algoritmos que los manipulan.
Ninguno es conveniente para el álgebra computacional, debido al desbordamiento de la expresión.
En el software del álgebra computacional, las expresiones se suelen representar de esta manera.
Este proceso de evaluación diferida es fundamental en el álgebra computacional.
Se aplican de forma sistemática en los sistemas del álgebra computacional.
La primera dificultad se presenta con operaciones asociativas como la suma y la multiplicación.
La forma estándar de tratar con la asociatividad es considerar que la adición y multiplicación tienen un número arbitrario de operandos, o sea, a + b + c se representa como "+"(a, b, c).
Una segunda dificultad se produce con la conmutatividad de la suma y la multiplicación.
El problema es reconocer rápidamente los términos con el fin de combinarlos o cancelarlos.
Este diseño de la función hash permite también reconocer inmediatamente las expresiones de subexpresiones que aparecen varias veces en un cálculo y almacenarlas sólo una vez.
Esto permite no sólo ahorrar algo de espacio en la memoria, sino también acelerar los cálculos, evitando repetir el mismo cálculo en varias expresiones idénticas.
Como no hay manera de hacer una buena elección general de aplicar o no una norma como la reescritura, tales reescrituras se realiza sólo cuando se les pregunta explícitamente por el usuario.
Para la propiedad distributiva, la función computacional que aplica esta regla de reescritura es generalmente llamada "ampliar".
Esto no es una restricción real, porque, tan pronto como las funciones irracionales que aparecen en una expresión se simplifican, son generalmente considerados nuevos indeterminados.
Como es trivial, es raramente considerado por los matemáticos, pero es la única igualdad que es fácil de probar con un programa.
Por lo tanto (semánticamente) la igualdad puede ser probada sólo en algunas clases de expresiones tales como los polinomios y las fracciones racionales.
Para probar la igualdad de dos expresiones, en lugar de diseñar un algoritmo específico, es habitual ponerlos en alguna forma canónica o poner su diferencia en una forma normal y probar la igualdad sintáctica del resultado.
En otras palabras, cero tiene una única representación de expresiones en forma normal.
Las formas normales son generalmente preferidas en álgebra computacional por varias razones.
Por ejemplo, para poner un polinomio en forma canónica, se tiene que ampliar por distributividad cada producto, si bien no es necesario, con una forma normal (véase más adelante).
En esta sección, se describe una forma normal de uso frecuente para las fracciones racionales multivariantes.