Problema del subespacio invariante
En matemáticas, más concretamente en análisis funcional, el problema del subespacio invariante es un problema parcialmente sin resolver que pregunta si todo operador acotado en un espacio de Banach complejo manda algún subespacio cerrado no trivial a sí mismo.
Varias variantes del problema han sido resueltas, restringiendo la clase de operadores acotados considerados o especificando una clase particular de espacios de Banach.
El problema está todavía sin resolver en el caso de los espacios de Hilbert separables; es decir, todos los ejemplos encontrados hasta la fecha de operadores sin subespacios invariantes no triviales son operadores que actúan en un espacio de Banach no isomorfo a un espacio de Hilbert separable.
El problema parece haber sido planteado a mediados del siglo XX después del trabajo de Beurling y von Neumann,[1] quienes encontraron (pero nunca publicaron) una solución positiva para el caso de operadores compactos.
Luego, fue planteado por Paul Halmos para el caso de operadores
Esto fue resuelto afirmativamente, para una clase más general de operadores polinomialmente compactos (operadores
es un operador compacto para un polinomio no nulo
adecuadamente escogido), por Allen R. Bernstein y Abraham Robinson en 1966.
Para espacios de Banach, el primer ejemplo de operador sin subespacio invariante fue construido por Per Enflo, quien propuso un contraejemplo al problema del subespacio invariante en 1975, publicando un resumen en 1976.
Enflo presentó el artículo completo en 1981, y la complejidad y longitud del artículo atrasaron su publicación hasta 1987.
[2]El trabajo de Enflo inspiró a una similar construcción de un operador sin subespacios invariantes, por ejemplo a Beauzamy, quien reconoció las ideas de Enflo.
[2] En la década de 1990, Enflo desarrolló un enfoque «constructivo» al problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert.
[3] En mayo de 2023, apareció una prepublicación de Enflo en arXiv,[4] en la cual, de ser correcta, se resuelve el problema para espacios de Hilbert y completa el panorama.
Formalmente, el problema del subespacio invariante para un espacio de Banach complejo
de dimensión > 1 pregunta si todo operador lineal acotado
, que es distinto de
Una respuesta negativa al problema está estrechamente relacionada con las propiedades de las órbitas
es un elemento del espacio de Banach
, es el subespacio generado por la secuencia
A esto también se lo llama subespacio
A partir de la definición, se deduce que
-invariante mínimo que contiene a
es otro subespacio invariante que contiene
, por lo que su clausura es bien el espacio entero
también se lo llama vector cíclico para
), o bien se trata de un subespacio
Por tanto, un contraejemplo al problema del subespacio invariante sería un espacio de Banach
para los que todo vector no nulo
en un espacio de Banach
se trata de un vector para el que la órbita
