Lleva el nombre del matemático suizo Eduard Stiefel.
Del mismo modo, se puede definir la variedad de Stiefel compleja
y la variedad de Stiefel cuaterniónica
De manera más general, la construcción se aplica a cualquier espacio prehilbertiano real, complejo o cuaterniónico.
En algunos contextos, una variedad de Stiefel no compacta se define como el conjunto de todos los k-marcos linealmente independientes en
Las afirmaciones sobre la forma no compacta corresponden a las de la forma compacta, reemplazando grupo ortogonal (o unitario o grupo simpléctico) por grupo lineal general.
puede considerarse como un conjunto de matrices n × k expresando un k-marco como una matriz vector columna de orden k en
denota la matriz identidad de orden k × k. Entonces, se tiene que La topología en
En otras palabras, el grupo ortogonal O(n) actúa transitivamente sobre
La acción de un marco dado es el subgrupo isomorfo O(n−k) que actúa de manera no trivial sobre el complemento ortogonal del espacio abarcado por ese marco.
Asimismo, el grupo unitario U(n) actúa transitivamente sobre
con el subgrupo estabilizador U(n−k) y el grupo simpléctico Sp(n) actúa transitivamente sobre
puede verse como un espacio homogéneo: Cuando k = n, la acción correspondiente es libre, de modo que la variedad de Stiefel
es un espacio homogéneo principal para el grupo clásico correspondiente.
con un subgrupo estabilizador isomorfo a SO(n−k), de modo que Lo mismo se aplica a la acción del grupo unitario especial sobre
Así, para k = n − 1, la variedad de Stiefel es un espacio principal homogéneo para el correspondiente grupo clásico especial.
, que es isomorfo al círculo unitario en el plano euclídeo, tiene como medida uniforme la medida uniforme obvia (longitud de arco) en la circunferencia.
y A=QR es la factorización QR de A, entonces las matrices,
son independientes y Q se distribuye según la medida uniforme en
considerar que el primer vector defina un punto en Sn−1 y el segundo un vector unitario tangente a la esfera en ese punto.
Cuando k = n o n−1, se vio en la sección anterior que
es un espacio principal homogéneo, y por lo tanto difeomorfo con respecto al grupo clásico correspondiente: Dada una inclusión ortogonal entre espacios vectoriales
Más sutilmente, dado un espacio vectorial X de n, la construcción de una base dual proporciona una biyección entre las bases de X y las bases del espacio dual
Esto también es un functor para isomorfismos de espacios vectoriales.
Existe una proyección natural desde la variedad de Stiefel
, que envía un k-marco al subespacio abarcado por ese marco.
es el conjunto de todos los k-marcos ortonormales contenidos en el espacio P. Esta proyección tiene la estructura del fibrado principal G, donde G es el grupo clásico asociado de grado k. Tómese el caso real para facilitar la concreción del desarrollo.
Existe una acción a derecha natural de O(k) en
Las órbitas de esta acción son precisamente los k-marcos ortonormales que abarcan un subespacio de dimensión k dado; es decir, son las fibras de la aplicación p. Argumentos similares son válidos en los casos complejo y cuaterniónico.
En otras palabras, la variedad de Stiefel