En teoría de la probabilidad y física matemática, una matriz aleatoria es una variable aleatoria en forma de matriz.
Muchas propiedades importantes de sistemas físicos pueden representarse matemáticamente como problemas de matrices aleatorias, v.gr.
sistemas caóticos o desordenados, sistemas cuánticos de muchos cuerpos, gravedad cuántica bidimensional, transiciones de fase en cromodinámica cuántica etc.
Históricamente, la Teoría de Matrices Aleatorias (RMT por sus siglas en inglés) fue utilizada por Wigner para modelar el Hamiltoniano de un sistema cuántico excitado complejo.
La idea básica consistía en describir las propiedades estadísticas de dicho sistema (tales como las fluctuaciones en las resonancias de dispersión en núcleos pesados), a partir de un ensemble de matrices hamiltonianas con elementos aleatorios cuya única restricción era respetar las simetrías inherentes al problema específico.
se refieren a alguna base del espacio de Hilbert correspondiente, cuya dimensión se considera después en el límite
En términos generales, una matriz aleatoria es una función medible:
{\displaystyle {\mathcal {M}}:(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )\longrightarrow \left(\mathrm {Mat} (N,\mathbb {K} ),{\mathcal {B}},\mu \right)}
{\displaystyle \left(\mathrm {Mat} (N,\mathbb {K} ),{\mathcal {B}},{\hat {\mu }}:=\mathbb {P} \circ {\mathcal {M}}^{-1}\right)}
es preservada bajo la acción de un subgrupo
del grupo lineal general (dada por
Los ensembles clásicos se conforman por todas aquellas matrices aleatorias que son invariantes bajo los grupos clásicos de matrices
En estos casos, la densidad de probabilidad resulta ser Gaussiana:
Por esta razón, a los ensembles clásicos también se les llama Gaussianos:
es una matriz aleatoria de un ensemble Gaussiano y
son sus eigenvalores ordenados de manera ascendente, entonces éstos tienen como densidad de probabilidad conjunta a la función:
es el índice de Dyson correspondiente al ensemble Gaussiano particular: ortogonal, unitario o simpléctico, respectivamente.
Esta función se anula para los eventos
, lo que se conoce como repulsión entre niveles.
En el contexto de los experimentos nucleares, es difícil obtener información directamente de la función
Típicamente, la comparación entre experimentación y teoría sobre las energías se hace ya sea con la función de correlación entre pares de niveles
, o bien con la separación entre niveles contiguos.
, suponiendo que las entradas independientes de
, y haciendo un cambio a coordenadas polares:
Wigner pudo conjeturar, en 1957, que la distribución del espaciamiento
entre valores propios contiguos, según el ensemble en cuestión (descrito por
está expresado en múltiplos del espaciamiento promedio
Éste, a su vez, está dado por el recíproco de la densidad de niveles promedio
{\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\mathbb {E} (S)}{N}}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {4\sigma ^{2}-y^{2}}}\,\mathbf {1} _{\{|y|<2\sigma \}}\,\mathrm {d} y}
tienen una densidad de soporte compacto, con forma semicircular.