En matemáticas y, más concretamente, en álgebra conmutativa, el polinomio ciclotómico asociado al entero natural n, denotado como Φn, es el polinomio unitario cuyas raíces son todas las raíces n-ésimas primitivas de la unidad, es decir, los números complejos que verifican zn = 1, pero que no verificanSe suelen tomar las raíces en el cuerpo de los complejos, (otras extensiones del cuerpo de los reales también serían posibles), pero carece de consecuencia sobre los polinomios ciclotómicos, cuyos coeficientes se puede demostrar que son siempre enteros.), y es lógicamente inferior o igual a n.Como ya se ha dicho, las raíces primitivas son de la forma ωr, con 0 ≤ r < n, r coprimo con n, yCarl Friedrich Gauss, en sus Disquisitiones Arithmeticae, publicado en 1801, utiliza los polinomios ciclotómicos.Con ellos hace una importante contribución a un problema abierto desde la antigüedad: la construcción con regla y compás de polígonos regulares.Este enfoque es innovador y, en muchos aspectos, prefigura el álgebra moderna: un polinomio ya no aparece como un objeto en sí mismo, sino como parte de un conjunto estructurado.Aunque aún no se formaliza el concepto del anillo de polinomios, sí que se descubre su estructura euclidiana y es la herramienta básica para el análisis de Gauss.Hoy en día se las conoce como periodos de Gauss.Tal estructura ahora se consideraría un caso particular de cuerpo finito si el divisor es un número primo.Gauss destaca tales conjuntos y utiliza, adelantándose a su tiempo, el transporte de estructura por morfismo entre dos anillos para demostrar la irreductibilidad de polinomios ciclotómicos.En este mismo libro, Gauss utiliza las estructuras ya introducidas para resolver otro problema ya abordado por Fermat (1601 - 1685) y formalizado por Euler (1707 - 1783): la ley de reciprocidad cuadrática.La utilización en la geometría no se limita a la construcción con la regla y el compás.La búsqueda de soluciones de la ecuación polinómica es un problema que se remonta a los primeros desarrollos en teoría polinomios llevados a cabo por los matemáticos árabes.Aunque en general se cita a Al-Juarismi (783-850) como precursor por la resolución de seis ecuaciones canónicas, a Girolamo Cardano (1501-1576) por la resolución de la ecuación polinómica de grado tres y a Ludovico Ferrari (1522-1565) para las de cuarto, el caso general continuó siendo durante mucho tiempo un misterio.El caso especial de los polinomios ciclotómicos lo ilustra.El grupo de permutaciones buenas, ahora llamado grupo de Galois, no sólo es conmutativo sino que además es cíclico.Un análisis más profundo abordado posteriormente por Paolo Ruffini (1765-1822), Niels Henrik Abel (1802-1829) y sobre todo por Evariste Galois (1811-1832) muestra que el aspecto conmutativo del grupo es ya, de hecho, condición suficiente.La pregunta natural que surge es determinar qué extensiones del cuerpo de los números racionales tienen un grupo de Galois conmutativo.Su unicidad significaría que toda ecuación algebraica resoluble por radicales se reduciría de una manera u otra a un polinomio ciclotómico.Los principales contribuyentes en dicha demostración fueron Leopold Kronecker (1823-1891) y Heinrich Weber (1842-1913).Aunque el análisis de las extensiones abelianas finitas acaba en el siglo XIX, se deja abierta un amplio abanico de preguntas, por ejemplo en aritmética.Parece necesario generalizar la noción de cuerpo ciclotómico a extensiones infinitas.Mediante esta última, encontramos una primera manera recursiva de calcular los polinomios ciclotómicos:Si queremos calcular el polinomio ciclotómico p-ésimo, donde p es un número primo, como p no es divisible por ningún número menor que él distinto de 1, todas las raíces de la unidad exceptuando el uno son raíces primitivas, por tanto:Calculemos los polinomios ciclotómicos de orden 2 y 3, al ser ambos números primos su cálculo es inmediato: Ahora mediante las fórmulas anteriores y teniendo en cuenta queEl menor entero positivo n tal que el polinomio ciclotómico n-ésimo tiene un coeficiente distinto de 0, 1 y -1 es n = 105 = 3×5×7:[4], y, como en la generalización, tendremos que el grado de la extensión del cuerpo de los racionales junto a la raíz primitiva n-ésima será el grado del polinomio ciclotómico n-ésimo.Por otro lado, también es importante remarcar el resultado siguiente: Seanes una raíz mn-ésima primitiva de la unidad y se satisfacen las igualdades:
El tratado de análisis de los polinomios ciclotómicos
