Esta terminología no siempre se usa: estudiar el cuerpo de ruptura de P equivale a estudiar el cociente K[X]/(P(X)), y esta notación es suficiente para muchos autores, sin que se utilice un nombre específico.
Más raramente, en algunos libros se usa la expresión cuerpo de ruptura para designar otros conceptos.
También es, como se puede verificar fácilmente, el subanillo generado por K y α.
Está contenido en cualquier cuerpo que contenga a K y α.
En esta construcción, el monomio X se convierte en raíz de P. De manera más abstracta, K[X]/(P) se define como el anillo cociente de K[X] por el idéal generado por P denotado (P), que es no nulo y primo (P es irreducible) por lo tanto máximo, K[X] es un dominio de ideales principales (porque es euclídeo); el anillo K[X]/(P) es entonces un cuerpo.
El ideal generado por P(X) está en el núcleo del morfismo, obteniéndose así, por el teorema fundamental de homomorfismos, un morfismo en anillo f de K[X]/(P) en L con las propiedades deseadas.
Esta propiedad asegura en particular que cualquier cuerpo de ruptura de P en K sea isomorfo a K[X]/(P) (con las notaciones anteriores, se toma L = K(β) y la imagen del morfismo construido previamente es un subcuerpo de L que contiene a K y β, y por lo tanto, L es totalmente entero).
Por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca entre las raíces de P en L y los morfismos de K(X)/(P) en L. En particular, si P es de grado n, existen como máximo n morfismos de K(X)/(P) en L. Si además P está dividido y tiene todas sus raíces simples en L, entonces existen exactamente n morfismos de K(X)/(P) en L. Se dice que un polinomio sobre K es separable si no admite una raíz múltiple en una clausura algebraica de K (lo que equivale a decir que es primo de su polinomio derivado).