Traza de un cuerpo

En matemáticas, la traza de un cuerpo es una función particular definida con respecto a una extensión de cuerpos finita L/K, que es una aplicación K-lineal de L sobre K. Sea K un cuerpo y L una extensión finita (y por lo tanto, una extensión algebraica) de K. L puede verse como un espacio vectorial sobre K. La multiplicación por α, un elemento de L, es una K-aplicación lineal de este espacio vectorial sobre sí mismo.La traza, TrL/K(α), se define como la traza (en álgebra lineal) de esta transformación lineal.[1]​ Para α en L, sean σ1(α), ..., σn (α) las raíces (contadas con multiplicidad) del polinomio mínimo de α sobre K (en alguna extensión del cuerpo K), entonces Si L/K es separable, entonces cada raíz aparece solo una vez[2]​ (sin embargo, esto no significa que el coeficiente anterior sea uno; por ejemplo, si α es el elemento de identidad 1 de K, entonces la traza es [L:K] multiplicado por 1).[1]​ El polinomio mínimo de α es X2 − 2a X + a2 − d b2.Varias propiedades de la función traza son válidas para cualquier extensión finita.[3]​ La traza Tr L/K : L → K es una K-aplicación lineal (un K-funcional lineal), es decir Si α ∈ K entoncesAdemás, la traza se comporta bien en torres de cuerpos: si M es una extensión finita de L, entonces la traza de M sobre K es solo la composición de la traza de M sobre L con la traza de L sobre K, es decir Sea L = GF (qn) una extensión finita de un cuerpo finito K = GF(q).Dado que L/K es una extensión de Galois, si α está en L, entonces la traza de α es la suma de todos los elementos conjugados de α, es decir,[4]​ En este entorno se cuenta con las propiedades adicionales:[5]​ Teorema.[6]​ Para b ∈ L, sea Fb la aplicaciónEntonces Fb ≠ Fc si b ≠ c. Además, las K-transformaciones lineales de L sobre K son exactamente las aplicaciones de la forma Fb, ya que b varía sobre el cuerpo L. Cuando K es el subcuerpo principal de L, la traza se denomina traza absoluta y, de lo contrario, es una traza relativa.[4]​ Una ecuación cuadrática, ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, y coeficientes en el cuerpo finitotiene 0, 1 o 2 raíces en GF(q) (y dos raíces, contadas con multiplicidad, en la extensión cuadrática GF (q2)).Si la característica de GF (q) es impar, el discriminante, Δ = b2 − 4ac indica el número de raíces en GF(q) y la fórmula clásica de la ecuación de segundo grado permite calcular las raíces.Sin embargo, cuando GF(q) tiene una característica par (es decir, q = 2h para algún entero positivo h), estas fórmulas ya no son aplicables.Considérese la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 con coeficientes en el cuerpo finito GF(2h).[7]​ Si b = 0, entonces esta ecuación tiene la solución únicaSi b ≠ 0 entonces la sustitución y = ax/b convierte la ecuación cuadrática a la forma: Esta ecuación tiene dos soluciones en GF(q) si y solo si la traza absolutaEn este caso, si y = s es una de las soluciones, entonces y = s + 1 es la otra.Sea k cualquier elemento de GF (q) conEntonces, una solución a la ecuación viene dada por: Cuando h = 2m + 1, una solución viene dada por la expresión más simple: Cuando L/K es separable, la traza proporciona una dualidad a través de la forma de traza: la aplicación de L × L sobre K haciendo corresponder (x, y) sobre TrL/K (xy) es una forma bilineal no degenerada y simétrica, denominada forma de traza.La forma de traza se utiliza en teoría de números algebraicos, concretamente en la teoría del ideal diferente.