En matemáticas, la norma de un cuerpo es una aplicación particular definida en teoría de cuerpos, que hace corresponder elementos de un cuerpo más grande en un subcuerpo.
Sea K un cuerpo y L una extensión finita (y por lo tanto, una extensión algebraica) de K. El cuerpo L es entonces un espacio vectorial de dimensión finita sobre K. La multiplicación por α, un elemento de L, es una K-aplicación lineal de este espacio vectorial sobre sí mismo.
La norma, NL/K(α), se define como el determinante de esta aplicación lineal.
[2] (téngase en cuenta que puede haber una repetición en los términos del producto)
Para una extensión de cuerpos general L/K, y α distinto de cero en L, sean σ1(α), ..., σn(α) las raíces del polinomio mínimo de α sobre K (las raíces enumeradas con multiplicidad se encuentran en algunos cuerpos de extensión de L); luego Si L/K es separable, entonces cada raíz aparece solo una vez en el producto (aunque el exponente, el grado [L: K (α)], todavía puede ser mayor que 1).
es un número entero libre de cuadrados.
se puede representar mediante el vector ya que existe una descomposición de suma directa
, ya que es el determinante de esta matriz.
En este ejemplo, la norma es el cuadrado de la norma habitual de distancia euclídea en
En general, la norma de un cuerpo es muy diferente a la norma de distancia usual.
Este hecho se puede ilustrar con un ejemplo donde la norma del cuerpo puede ser negativa.
Considérese el cuerpo de números algebraicos
y es generado por el elemento que aplica
es: La norma de un cuerpo también se puede obtener sin el grupo de Galois.
, tal que: Entonces, se define la multiplicación por el número que aplica
es el determinante de la matriz que envía el vector En consecuencia: El determinante de esta matriz es −1.
El determinante proporciona la norma La norma de cuerpo de los números complejos sobre los números reales hace corresponder a el número real porque el grupo de Galois de
tiene dos elementos, Tomando el producto se obtiene (x + iy)(x − iy) = x2 + y2.
Sea L = GF(qn) una extensión finita de un cuerpo finito K = GF(q).
Dado que L/K es una extensión de Galois, si α está en L, entonces la norma de α es el producto de todos los elementos conjugados de α, es decir[3] En este entorno se dispone de las propiedades adicionales,[4] Varias propiedades de la función norma son válidas para cualquier extensión finita.
[5][6] La norma NL/K: L*→K* es un homomorfismo de grupos del grupo multiplicativo de L sobre el grupo multiplicativo de K, es decir Además, si a en K: Si a ∈ K entonces
{\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}
Además, la norma se comporta bien en torres de cuerpos: si M es una extensión finita de L, entonces la norma de M sobre K es solo la composición de la norma de M sobre L con la norma de L sobre K, es decir La norma de un elemento en una extensión de cuerpos arbitraria se puede reducir a un cálculo más sencillo si ya se conoce el grado de la extensión de cuerpos.
Por ejemplo donde Entonces, cualquier cuerpo numérico
La norma de un número entero algebraico es nuevamente un número entero, porque es igual (salvo el signo) al término constante del polinomio característico.
En teoría de números algebraicos se definen también normas para los ideales.
Esto se hace de tal manera que si I es un ideal distinto de cero de OK, el anillo de los números enteros del cuerpo de números algebraicos K, N(I) es el número de clases de residuos en
es decir, la cardinalidad de este anillo finito.
Por lo tanto, esta norma de un ideal es siempre un número entero positivo.
Cuando I es un ideal principal αOK, entonces N(I) es igual al valor absoluto de la norma sobre Q de α, siendo α un número entero algebraico.