Polinomio mínimo de valores trigonométricos especiales
Estos números se denominan en el artículo valores trigonométricos especiales.
(para cualquier entero n ≥ 3) corresponden a los ángulos centrales de los polígonos regulares convexos.
Cuando se aprende trigonometría, rápidamente se ve que el coseno y el seno de las medidas de ciertos ángulos tienen una forma particular, que involucra raíces cuadradas.
Como P tiene coeficientes racionales, sus raíces son números algebraicos.
Además, P es unitario, es decir, su monomio es 1, e irreducible sobre
, es decir, no se puede factorizar en un producto de polinomios con coeficientes racionales.
Las preguntas que surgen naturalmente son: También se verá que es posible reducir el grado de estos polinomios, incluso si eso significa dejar de trabajar solo con polinomios con coeficientes racionales.
(con k y n enteros) son números algebraicos, como raíces n-ésimas de la unidad.
Se puede preferir una demostración usando herramientas más elementales (véase Algunos polinomios canceladores).
Derrick Henry Lehmer calculó el grado de cos(2kπ/n):[1][2][3] si n > 2 y k son primos entre sí, donde φ es la función indicatriz de Euler.
Gracias a las identidades y fórmulas de trigonometría
, se puede deducir fácilmente que:[nota 5] En cuanto al grado de tan(kπ/n), si n > 4 y k y n son coprimos, es:[5][4] Los racionales son números algebraicos de grado 1, un corolario[nota 6][6] de la sección anterior es que para los múltiples ángulos racionales de π, los únicos valores racionales de las funciones trigonométricas habituales son: Un polígono regular con n vértices es construible con regla y compás si y solo si φ(n) es una potencia de dos.
, pero un corolario del teorema de Wantzel afirma que si un número es construible, entonces su grado es una potencia de 2, y lo contrario es falso en general pero verdadero para los valores trigonométricos especiales.
Gauss dio ya en 1796 (en una forma más explícita) esta condición suficiente sobre el entero n para que el polígono regular con n vértices sea construible, afirmando que también es necesaria, lo que Wantzel confirmó, dando origen al teorema de Gauss-Wantzel.
Por ejemplo, el heptágono, el eneágono regular y el endecágono regular no son construibles porque φ(7) = φ(9) = 6 y φ(11) = 10, mientras que para los otros valores de n desde 3 a 12, el n-gono regular es construible, como se explica en la siguiente tabla (para obtener más valores de n, consúltese esta tabla de φ(n) y este artículo sobre valores trigonométricos especiales expresables con raíces cuadradas).
El polinomio mínimo de 2cos(2π/7) es[nota 4] (X3 + X2 – 2X – 1), cuyas otras dos raíces son 2cos(4π/7) y 2cos(6π/7).
Como estas tres raíces son reales, se está en el “casus irreducibilis”, que no se puede resolver trigonométricamente con las combinaciones de números reales vistas hasta ahora.
Esto explica por qué nunca es posible encontrar una expresión de cos(2π/7) con raíces cuadradas o cúbicas reales en forma trigonométrica: solo se puede dar un valor aproximado, o indicar su polinomio mínimo, del que es la única raíz positiva.
Niels Henrik Abel y Évariste Galois demostraron que es imposible expresar en general las raíces de un polinomio de grado 5 o superior mediante radicales.
Considérense[nota 8] los cuatro números reales coskπ/12 = cos2kπ/24 (para k primo con respecto a 12), de grado φ(24)/2 = 4.
Se calculan fácilmente:[3] cosπ/12 es, por tanto, la raíz de los siguientes tres polinomios, de segundo grado, con inevitablemente no todos los coeficientes racionales: y el polinomio mínimo P se puede factorizar de tres formas: Los seis factores cuadráticos tienen coeficientes en un cuerpo cuadrático
En el caso general cos(2kπ/n) (con n > 2 y k y n primos entre sí), se encontrará al menos una factorización de este tipo (producto de dos polinomios con coeficientes en el mismo cuerpo cuadrático y de grado φ(n)/4) si (y solo si) φ(n) es divisible entre 4.
A menudo es posible construir polinomios canceladores de grados más pequeños.
Por ejemplo, si n es impar, n = 2m + 1, se tiene que:[nota 9] que proporciona polinomios de cancelación: Si n es primo, son incluso de grado mínimo, por identificación directa (véase el siguiente apartado) o simplemente viendo sus grados (véase Grado algebraico.
Se presenta aquí solo en el caso de los cosenos,[nota 4] para el ejemplo n = 15.
: Se obtiene un nuevo polinomio Φ15(t) con coeficientes enteros en
, según el cálculo proporcionado por el polinomios de Chebyshov: Tanteando un poco, se logra encontrar coeficientes enteros como, por ejemplo, al multiplicar las potencias de
El procedimiento funciona porque los polinomios ciclotómicos son polinomios palindrómicos, es decir, tienen los mismos coeficientes cuando se leen sus términos tanto en orden de grado creciente como decreciente.
Sin embargo, por definición, el polinomio ciclotómico Φn tiene precisamente por raíces los complejos
Por lo tanto, el número cos(2kπ/15) es la raíz de: Además, dado que Φ15 es irreducible sobre
