Raíz de un polinomio
Por lo tanto, es una solución de la ecuación polinómica P(x) = 0 para la incógnita x, o también un cero de la función polinómica asociada.
Un polinomio distinto de cero con coeficientes en un determinado cuerpo puede tener raíces solo en un cuerpo «más grande», pero nunca tiene un número de raíces mayor que su grado.
Por ejemplo (X2 - 2 = 0), que es de grado 2 y con coeficientes racionales, no tiene raíces racionales, pero tiene dos raíces en los números reales ℝ (y por lo tanto, también en los números complejos ℂ).
El teorema fundamental del álgebra indica que cualquier polinomio de grado n con coeficientes complejos admite n raíces complejas (no necesariamente distintas).
[1] Considérese un polinomio P(X) con una variable denotada comoX, con coeficientes en un cuerpo o más generalmente en un anillo conmutativo A (los coeficientes pueden por lo tanto pertenecer a un subanillo).
Definición de raíz:[1][2] Una raíz en A del polinomio P es un elemento α de A tal que, si se sustituye la variable X por el valor α, se obtiene una expresión nula en A.
La palabra gizr significa 'raíz', y se traduce al latín como radix.
En el ejemplo elegido, la igualdad: es otra forma de denotar que √2 y –√2 son de hecho las dos raíces del polinomio.
El simple hecho de que el polinomio (X - α) sea unitario permite (sin necesidad de asumir la integridad en A) definir las siguientes nociones: Orden de multiplicidad, raíz simple, raíz múltiple:[1] Si P es distinto de cero, entonces, para cualquier elemento α de A: El polinomio (X2 - 2) es separable, es decir, no tiene raíces múltiples.
Sea K un cuerpo conmutativo y P un polinomio con una variable y con coeficientes en K. Una extensión de K es un cuerpo que contiene a K; por tanto, ℝ y ℂ son extensiones de ℚ.
Este conjunto está identificado (por un isomorfismo no único) con un cuerpo único de ℝ y del cuerpo ℚ de números algebraicos.
Existencia de raíces: Existe una extensión más pequeña L de K, única salvo isomorfismos, tal que P se puede dividir en L. La extensión L se llama cuerpo de descomposición desde P sobre K. El cuerpo L es tal que el polinomio P está dividido; por otro lado, otros polinomios con coeficientes en K no necesariamente se dividen en L. A fortiori, un polinomio con coeficientes en L tampoco se divide necesariamente en L. Se dice que un cuerpo L es algebraicamente cerrado si todo polinomio con coeficientes en L se divide en L. Existencia de una clausura algebraica: Existe una extensión menor algebraicamente cerrada de K, única (salvo isomorfismos).
En particular: En un cuerpo de característica p> 0, este último criterio no es válido porque el polinomio derivado de Xp es nulo.
en un cuerpo K se escribe en su forma más general: donde los
[6] Así, el teorema fundamental del álgebra garantiza que cualquier polinomio de grado
De ello se deduce que un polinomio
Las relaciones entre los coeficientes y las raíces llevan el nombre de François Viète, el primer matemático en enunciarlas en el caso de las raíces positivas.
Por ejemplo, los polinomios simétricos asociados a las variables
Entonces, Estas relaciones se prueban desarrollando el producto
El método presentado en el ejemplo está generalizado, pero los cálculos se vuelven complicados.
Por otro lado, se puede demostrar directamente que,[9] para
son los polinomios simétricos elementales definidos a partir de
Según el teorema fundamental del álgebra, esta aplicación es sobreyectiva.
Se dota al conjunto con una topología cociente.
, asocia la secuencia de polinomios simétricos elementales correspondientes.
Entonces, se puede demostrar que F es un homeomorfismo entre el conjunto
de las raíces del polinomio (salvo permutaciones) y el conjunto
Los coeficientes se determinan evaluando P en tres puntos (
Müller tuvo entonces la idea de utilizar el mismo polinomio, pero en la forma:
Una característica especial de este algoritmo es que
