Cuártica de Klein
Originalmente, la "cuártica de Klein" se refería específicamente al subconjunto del plano proyectivo complejo P2(C) definido por una ecuación algebraica.
Pero más comúnmente (como en este artículo) se considera como cualquier superficie de Riemann que es conformemente equivalente a esta curva algebraica, y especialmente la que es un cociente del plano hiperbólico H2 por un determinado grupo cocompacto G que actúa libremente sobre H2 mediante isometrías.
Según la teoría del espacio recubridor, el grupo G mencionado anteriormente es isomorfo al grupo fundamental de la superficie compacta de género 3.
La cuártica cerrada es lo que generalmente se entiende en geometría; topológicamente tiene género 3 y es un espacio compacto.
Las cuárticas abiertas y cerradas tienen métricas diferentes, aunque ambas son hiperbólicas y completas:[1] geométricamente, las cúspides son "puntos en el infinito", no agujeros, por lo tanto, la cuártica abierta sigue siendo completa.
La cuártica de Klein se puede ver como una curva algebraica proyectiva sobre los números complejos C, definida por la siguiente ecuación cuártica en coordenadas homogéneas [x:y:z] sobre P2(C): El lugar geométrico de esta ecuación en P2(C) es la superficie riemanniana original que describió Klein.
El grupo de automorfismos se puede aumentar (mediante una simetría que no se realiza mediante una simetría del teselado) para generar el grupo de Mathieu M24.
De esta manera la geometría se reduce a combinatoria.
El desarrollo anterior es un teselado de la cuártica proyectivo (una variedad cerrada).
La cuártica afín tiene 24 cúspides (topológicamente, orificios), que corresponden a los 24 vértices del teselado triangular regular, o de manera equivalente, los centros de los 24 heptágonos en el teselado heptagonal, y se pueden realizar como se explica seguidamente.
La sístole de la superficie pasa por los puntos medios de 8 lados del heptágono, y por esta razón se la ha denominado geodésica de ocho pasos en la bibliografía, y es la razón del título del libro que se cita en la sección siguiente.
Todas las curvas coloreadas en la figura que muestra la descomposición de los pantalones son sístoles, aunque figura solo un subconjunto de los 21 que hay en total.
También maximiza la multiplicidad del primer valor propio positivo (8) entre todas esas superficies, un hecho que se ha demostrado recientemente.
Los primeros 15 valores propios positivos distintos se muestran en la siguiente tabla, junto con sus multiplicidades.
La cuártica de Klein no puede "materializarse" como una figura tridimensional, en el sentido de que ninguna figura tridimensional tiene simetrías (rotacionales) iguales a PSL(2,7), ya que PSL(2,7) no se integra como un subgrupo de SO(3) (o O(3)); y por lo tanto carece de una representación lineal tridimensional (no trivial) sobre los números reales.
Algunos de estos modelos consisten en 20 triángulos o 56 triángulos (en abstracto, el poliedro sesgado regular {3,7|,4}, con 56 caras, 84 aristas y 24 vértices), que no se pueden materializar como equiláteros, con giros en los brazos del tetraedro; mientras que otros tienen 24 heptágonos.
Estos heptágonos pueden tomarse como planos, aunque no convexos,[9] y los modelos son más complejos que los triangulares porque la complejidad se refleja en las formas de las caras heptagonales (no flexibles), más bien que en los vértices (flexibles).
[2] Alternativamente, la cuártica puede ser modelada mediante un poliedro con simetría octaédrica: Klein la modeló mediante una forma con simetrías octaédricas y con puntos en el infinito (un "poliedro abierto"),[6] es decir, tres hiperboloides que se encuentran en ejes ortogonales,[2] mientras que también puede modelarse como un poliedro cerrado que debe estar "sumergido" (tener autointersecciones), no incrustado.
[11] Es decir, el mapa del cociente se ramifica sobre los puntos 0, 1728 y ∞; dividir por 1728 produce una función de Belyi (ramificada en 0, 1 y ∞), donde los 56 vértices (puntos negros del diseño) se encuentran sobre 0, los puntos medios de las 84 aristas (puntos blancos del diseño) se encuentran sobre 1 y los centros de los 24 heptágonos se encuentran sobre el infinito.
El diseño resultante es "platónico", es decir, aristas-transitivo y "limpio" (cada punto blanco tiene valencia 2).
[13] Además, guardan relación con muchos otras entidades excepcionales, que se clasifican como trinidades.
(las aristas de los 14 ágonos marcadas con el mismo número son iguales)
La cuártica de Klein es un cociente del teselado heptagonal (comparar el grafo 3-regular en verde) y su teselado triangular dual (compárese con el grafo 7-regular en violeta)
