Dessin d'enfant

Un dessin d'enfant es un grafo con sus vértices coloreados alternativamente en blanco y negro, embebido en una superficie orientada que, en muchos casos, es simplemente un plano.Para que exista el coloreado, el grafo debe ser bipartito.Se requiere que las caras de la incrustación sean discos topológicos.La superficie y la incrustación se pueden describir combinatoriamente usando un sistema de rotación, un orden cíclico de los bordes que rodean cada vértice del grafo que describe el orden en que los bordes serían cruzados por un camino que viaja en el sentido de las agujas del reloj sobre la superficie en un pequeño bucle alrededor del vértice.Para un tratamiento más detallado de este tema, consúltese Schneps (1994) o Lando y Zvonkin (2004).Las primeras protoformas de dessins d'enfants aparecieron ya en 1856 en el cálculo icosiano desarrollado por William Rowan Hamilton;[1]​ en términos modernos, se corresponden con el camino hamiltoniano en el grafo icosaédrico.[4]​ Todos estos elementos estaban a su vez relacionados con sus investigaciones sobre la geometría de la ecuación quíntica y el grupoDescriben la correspondencia entre mapas en superficies topológicas, mapas en superficies de Riemann y grupos con ciertos generadores distinguidos, pero no consideran la acción de Galois.El trabajo posterior de Bryant y Singerman (1985) extendió el tratamiento a las superficies con un límite.son polinomios, transforma la esfera de Riemann asignándola a sí misma.Este segmento de línea tiene cuatro preimágenes, dos en el segmento de línea del 1 al 9 y dos formando una curva cerrada simple que gira desde el 1 hacia sí misma, rodeando al 0; el diseño resultante se muestra en la figura.Sin embargo, esta construcción identifica la superficie de Riemann solo como una variedad con estructura compleja, si bien no construye una incrustación de esta variedad como una curva algebraica en el plano proyectivo complejo, aunque tal incrustación siempre existe.La misma construcción se aplica de forma más general cuandoque conduzcan a dessins d'enfant combinatoriamente equivalentes son biholomórficos, y el teorema de Belyi implica que, para cualquier superficie compacta de Riemanny un dessin d'enfant que proporciona una descripción combinatoria de ambosEn el ejemplo anterior, todos los puntos blancos tienen grado dos; los diseños con la propiedad de que cada punto blanco tiene dos aristas se conocen como limpios, y sus correspondientes funciones de Belyi se denominan puras.Por lo tanto, cualquier incrustación de un grafo en una superficie en la que cada cara es un disco (es decir, un mapa topológico) da lugar a un diseño al tratar los vértices del grafo como puntos negros de un diseño y colocar puntos blancos en el punto medio de cada borde del diseño del grafo incrustado.[7]​ Un diseño que no esté limpio se puede transformar en un diseño limpio en la misma superficie, recoloreando todos sus puntos de negro y añadiendo nuevos puntos blancos en cada uno de sus bordes.Bajo la interpretación de un diseño limpio como un mapa, un diseño arbitrario es un hipermapa: es decir, un dibujo de un hipergrafo en el que los puntos negros representan vértices y los puntos blancos representan hiperbordes.Los cinco sólidos platónicos (el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro regulares), vistos como superficies bidimensionales, tienen la propiedad de que se puede hacer corresponder cualquier bandera (un triplete formado por un vértice, una arista y una cara que se encuentran) a cualquier otra bandera por una simetría de la superficie.De manera más general, un mapa incrustado en una superficie con la misma propiedad, en el que cualquier bandera puede transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría, se denomina mapa regular.Cuando el mapa regular se encuentra en una superficie cuyo genus es mayor que uno, el espacio recubridor de la superficie es el plano hiperbólico, y el grupo de triángulos en el plano hiperbólico formado a partir de la triangulación elevada es un grupo fuchsiano (cocompacto) que representa un conjunto discreto de isometrías del plano hiperbólico.Por el contrario, cualquier polinomio con 0 y 1 como sus valores críticos finitos, forma una función de Belyi desde la esfera de Riemann hacia sí mismo, que tiene un único punto crítico de valor infinito y corresponde a un dessin d'enfant que es un árbol.El grado del polinomio es igual al número de aristas en el árbol correspondiente.El dessin d'enfant correspondiente es una estrella que tiene un vértice negro central conectado aTal polinomio puede normalizarse en una función de Belyi, con sus valores críticos en 0 y 1, mediante la fórmulaLos diseños correspondientes toman la forma de grafo camino, alternando entre vértices blancos y negros, conEstas funciones, aunque estrechamente relacionadas entre sí, no son equivalentes, ya que están descritas por los dos árboles no isomorfos que se muestran en la figura.Sin embargo, como estos polinomios están definidos sobre el cuerpo de números algebraicos, pueden ser transformados por la acción del grupo absoluto de Galois