Punto crítico (matemática)

En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.

[1][2] El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función.

Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre

donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es

que sea la imagen de un punto crítico bajo

: en un punto crítico, la gráfica no admite una tangente, o bien, la tangente es una línea vertical u horizontal.

En el último caso, la derivada es cero y el punto es llamado un punto estacionario de la función.

Por el teorema de Fermat, los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos.

Sin embargo, no todo punto estacionario es un máximo o mínimo de la función; puede corresponder también a un punto de inflexión de la gráfica, como para

o la gráfica puede oscilar en la vecindad del punto, como en el caso de la función definida por la fórmula

es cero: pueden presentarse los siguientes casos.

la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto

la función presenta un punto de inflexión.

la tangente a la función es horizontal y por tanto en el punto

la función presenta también un punto de inflexión.

no es derivable para valores enteros de x; por lo tanto tiene una infinidad numerable de puntos críticos.

[4] En esta sección, se asumirá que las funciones son suaves.

Para una función suave de varias variables reales, la condición de ser un punto crítico es equivalente a que todas sus derivadas parciales sean cero; para una función en una variedad, es equivalente a que su diferencial sea cero.

Si la matriz hessiana en un punto crítico es no singular entonces el punto crítico es llamado no degenerado, y el signo de los autovalores del Hessiano determinan el comportamiento local de la función.

En el caso de una función real de una variable real, el Hessiano es simplemente la segunda derivada, y la no singularidad es equivalente a ser diferente de cero.

Un punto crítico no degenerado de una función real de una variable es un máximo si la segunda derivada es negativa, y un mínimo si es positiva.

Para una función de n variables, el número de autovalores negativos de un punto crítico es llamado su índice, y un máximo ocurre cuando todos los autovalores son negativos (índice n, la matriz hessiana es definida negativa) y un mínimo ocurre cuando todos los autovalores son positivos (índice cero, la matriz hessiana es definida positiva); en todos los otros casos, el punto crítico puede ser un máximo, un mínimo o un punto de silla (índice estrictamente entre 0 y n, la matriz hessiana es indefinida).

Esto es equivalente a estudiar la signatura de la forma cuadrática definida por la matriz Hessiana en el punto, para ello existen diversos métodos, el de Sylvester (basado en el estudio de los menores principales de la matriz), por congruencia, o el ya citado método de los autovalores.

En la presencia de una métrica Riemanniana o una forma simpléctica, a cada función suave le es asociada un campo vectorial (el gradiente o campo vectorial Hamiltoniano).

Estos campos vectoriales desaparecen exactamente en los puntos críticos de la función original, y así los puntos críticos son estacionarios, es decir, las trayectorias constantes del flujo asociado al campo vectorial.

, los puntos críticos son los puntos donde el diferencial de f es una aplicación lineal de rango menor que n; en particular, cada punto es crítico si

Esta definición inmediatamente se extiende a mapas entre variedades suaves.

Un punto en el complemento del conjunto de valores críticos es llamado un valor regular.