Pantalón (matemáticas)
En matemáticas, un pantalón es una superficie que es homeomórfica a una esfera con tres orificios.
Los pantalones se utilizan como bloques de construcción para las superficies compactas en varias teorías.
Matemáticamente, un pantalón es cualquier superficie homeomorfa a una esfera con tres orificios, que formalmente es el resultado de quitar de la esfera tres discos con cierres disjuntos por pares.
Así, un pantalón es una superficie compacta de genus cero con tres fronteras.
, y para una superficie no conexa tomar la suma de todos los componentes.
que no sea homotópica para un componente límite, la superficie compacta obtenida cortando
Por un argumento recursivo, esto implica que para cualquier superficie existe un sistema de curvas cerradas simples que cortan la superficie en pantalones.
Esta descomposición no es única, pero al cuantificar el argumento se ve que todas las descomposiciones en pantalones de una superficie dada tienen el mismo número de curvas, que es exactamente su complejidad.
Una colección de curvas cerradas simples sobre una superficie es una descomposición en pantalones si y solo si son inconexas, dos de ellas no son homotópicas y ninguna es homotópica a un componente de contorno, y la colección es máxima para estas propiedades.
Este es un grafo con vértice establecido en las descomposiciones en pantalones de
Por ejemplo, Allen Hatcher y William Thurston lo han usado para demostrar que es de presentación finita.
Las interesantes estructuras hiperbólicas de un pantalón se clasifican fácilmente.
[3] Al tomar la longitud de un puño (boca de pernera) igual a cero, se obtiene una mátrica completa en el pantalón menos el puño, que se reemplaza por un cúspide.
Se procede de la siguiente manera: Dado un pantalón hiperbólico con límite totalmente geodésico, existen tres arcos geodésicos únicos que unen los puños por pares y que son perpendiculares a ellos en sus extremos.
Estos arcos se llaman las "costuras" de los pantalones.
Al cortar un pantalón por sus costuras, se obtienen dos hexágonos hiperbólicos en ángulo recto que tienen tres lados alternos de longitudes a juego.
El siguiente lema se puede probar con geometría hiperbólica elemental.
[4] Entonces se comprueba que el pantalón es el doble de un hexágono en ángulo recto en lados alternos.
Cuando la longitud de un puño es cero, se reemplaza el lado correspondiente en el hexágono en ángulo recto por un vértice ideal.
son simplemente las longitudes de las geodésicas cerradas homotópicas a
Corresponden a cuánto se gira al pegar dos pantalones en
Se puede refinar la definición (utilizando la continuación analítica[5] o técnicas geométricas) para obtener parámetros de giro valorados en
Téngase en cuenta que una de las variedades puede estar vacía; en particular, una variedad cerrada de dimensión n+1 se ve como un endomorfismo del conjunto vacío.
En particular, los cobordismos entre variedades unidimensionales (que son uniones de círculos) son superficies compactas cuyo límite se ha separado en dos uniones disjuntas de circunferencias.
Los TQFT bidimensionales corresponden a un álgebra de Frobenius, donde el círculo (la única 1-variedad cerrada conexa) se asigna al espacio vectorial subyacente del álgebra, mientras que el pantalón da un producto o coproducto, dependiendo de cómo se agrupen los componentes del límite: que es conmutativo o coconmutativo.
Además, la aplicación asociada con un disco da una counidad (traza) o unidad (escalares), dependiendo de la agrupación del límite, que completa la correspondencia.
