Teoría topológica cuántica de campo

Una teoría topológica cuántica de campo (TTCC), es una teoría cuántica de campos (TCC) que calcula invariantes topológicos.S. Donaldson, V. Jones, E. Witten y M. Kontsevich, han ganado la Medalla Fields por sus trabajos relacionados con la teoría de campos topológica.Esto significa que la teoría no es sensible a los cambios en la forma del espacio-tiempo; si el espacio-tiempo se comba[Nota 1]​ o contrae, no cambian las funciones de correlación.El espacio de Minkowski puede ser contraído a un punto, así que una TTCC en el espacio de Minkowski calcula sólo invariantes topológicos triviales.En consecuencia, Las TTCCs se estudian por lo general en espacio-tiempos curvos, como, por ejemplo, superficies de Riemann.Parece que existen algunas teorías dimensionales superiores, pero no se entienden muy bien.(ADVERTENCIA: a menudo se dice que las TTCCs tiene finito grados de libertad.Resulta ser cierto en la mayoría de los ejemplos que los físicos y matemáticos estudian, pero no es necesario.Un modelo sigma topológico con dimensión infinita espacio proyectiva de destino, si tal cosa pudiese definirse, tendría infinito grados de libertad).Las segundas, también se refieren a veces, como teorías de campo cohomológico.Por ejemplo, en el modelo BF, el espacio-tiempo es una variedad bidimensional M, las observables son construidas desde un formulario de dos-forma F, un auxiliar escalar B y sus derivados.La acción (que determina la integral de camino) es La métrica del espacio-tiempo no aparece en esta teoría, por lo que la teoría es explícitamente topológicamente invariante.Los axiomas de Atiyah están construidos pegados a la frontera con una transformación diferenciable (topológica o continua), mientras son Segal con transformación conforme.Estos axiomas han sido relativamente útiles para tratamientos matemáticos de TCCs tipo-Schwarz, aunque no es claro que capten toda la estructura de TCCs tipo-Witten.Estos axiomas difieren básicamente en si o no estudian una TTCC definida en una solo n-dimensional espacio-tiempo Riemann / Lorentz M fijo, o una TTCC definida en todos los n-dimensional espacio-tiempos a la vez.como sigue, lo cual es símil a la categoría de espacios topológicos.una orientación que preserve el difeomorfismo e identifique los extremos opuestos deLa característica principal de las TCCs topológicas es queEn analogía con la mecánica estadística también se le llama función de partición.Esto incorpora invariancia relativista (que abastece en general a "espacio-tiempos" (d + 1)-dimensionales) y la teoría se define formalmente escribiendo convenientemente una Lagrangiana ---una funcional de los campos clásicos de la teoría.Una Lagrangiana que implica sólo primeras derivadas en el tiempo, formalmente conduce a una Hamiltoniana nula, pero la Lagrangiana sí puede tener características no triviales que lo relacionen con la topología deAhora, no consideramos una dimensión fija sino todas las dimensiones al mismo tiempo, a saber, la TTCC es vista como un funtor.Considere dos morfismos equivalentes si son homotópicos a través de subvariedades de M y forman así la categoría cocienteTenga en cuenta que los cobordismos, si coinciden en sus fronteras, se puede coser juntos para formar un nuevo bordismo.Ya que los funtores son necesarios para preservar la composición, esto dice que el mapeo lineal correspondiente a un morfismo cosido junto es sólo la composición del mapa lineal para cada pieza.Para considerar todos los espacios-tiempo a la vez, es necesario sustituirla categoría de bordismos, es decir, la categoría cuyos morfismos son variedades n-dimensionales con borde, y cuyos objetos son los componentes conectados de los bordes, de las variedades n-dimensionales.como equivalentes si son de homotópicos y forman la categoría cocientePor ejemplo, para bordismos (1+1)-dimensionales (bordismos 2-dimensionales entre variedades de dimensión 1), el mapeo asociado a un par de pantalones, da un producto o coproducto, dependiendo de cómo se agrupan los componentes borde ---que es conmutativo o coconmutativo, mientras que el mapeo asociado con un disco da la unidad (traza) o unidad (escalares), según la agrupación de frontera, y por lo tanto TTCCs (1+1)-dimensinales corresponden a álgebras de Frobenius.Además, consideremos simultáneamente variedades 4,3,2-dimensionales respectivamente, que estén relacionadas por los bordismos anteriores, para luego obtener amplios e importantes ejemplos.