Polinomio de Jones
Supongamos que tenemos un enlace orientado
, dado como un diagrama de nudo.
Vamos a definir el polinomio de Jones,
Tenga en cuenta, que aquí el polinomio de corchete, es un polinomio de Laurent en la variable
En primer lugar, definimos el polinomio auxiliar (también conocido como el corchete polinomial normalizado) donde
en la siguiente figura) menos el número de cruces negativos (
La torcedura no es una invariante de nudo.
por los tres Movimientos de Reidemeister.
La invariancia bajo movimientos de Reidemeister tipo II y III, se sigue de la invarianza del corchete bajo esos movimientos.
El polinomio de corchete, se sabe que cambia por multiplicación por
en movimiento de Reidemeister tipo I.
anterior, está diseñado para anular este cambio, pues la torcedura cambia adecuadamente por +1 o -1 ante movimientos tipo I.
para obtener el polinomio de Jones
Esto resulta en un polinomio de Laurent con coeficientes enteros en la variable
Sea dado un enlace L. Un teorema de Alexander afirma que es el cierre de traza de una trenza, digamos con n líneas.
del grupo de trenza en n filamentos, Bn, en el álgebra de Temperley–Lieb TLn con coeficientes en
El generador estándar de trenza
son los generadores estándar del álgebra Temperley–Lieb.
Se puede verificar fácilmente que define una representación.
obtenida anteriormente de L y calcule
t r ρ ( σ )
, donde tr es la traza de Markov.
Esto puede verse considerando, como Kauffman, el álgebra de Temperley–Lieb como un álgebra de diagrama particular.
Una ventaja de este enfoque, es que uno puede escoger representaciones similares en otras álgebras, tales como las representaciones de matriz R, llevando a "invariantes de Jones generalizados".
El polinomio de Jones se caracteriza por el hecho de que toma el valor 1 en cualquier diagrama trivial y satisface la siguiente relación de madeja: donde
son tres diagramas de enlace orientado, que son idénticos, excepto en una pequeña región donde se diferencian por los cambios de cruce o suavizado, que se muestran en la figura siguiente: La definición del polinomio de Jones por corchete, hace que sea sencillo demostrar que para un nudo
Así, un nudo aquiral —un nudo equivalente a su imagen especular—, tiene entradas palíndromas en su polinomio de Jones.
Ver el artículo sobre la relación de madeja, para obtener un ejemplo de cálculo con estas relaciones.
¿Existe algún nudo no trivial con polinomio de Jones igual para aquel no-nudo?
Se sabe que existen enlaces no triviales con igual polinomio de Jones, respecto a los de no-enlace correspondiente, por el trabajo de Morwen Thistlethwaite.
