Sucesión de Farey
Una sucesión de farey es una sucesión matemática de fracciones irreductibles entre 0 y 1 que tienen un denominador menor o igual a ¨¨n'¨¨ en orden creciente.
Cada sucesión de farey comienza en el 0, denotado por la fracción:
Una sencilla manera algorítmica de construir la sucesión de Farey para un número n (por ejemplo, el 4): La sucesión de Farey para n entre 1 y 8 es la siguiente: Las sucesiones de Farey reciben el nombre del geólogo británico John Farey, quién publicó una carta sobre ellas en un número de la revista Philosophical Magazine en 1816.
La carta de Farey fue leída por el famoso matemático Cauchy quien sí probó la afirmación de Farey en su libro Exercises de mathématique prueba junto a la que se atribuye el resultado a Farey.
Pero de hecho, fue otro matemático, un tal C.Haros, el que primero publicó un resultado semejante en el año 1812, aunque es prácticamente cierto que ni Farey ni Cauchy conocían tal hecho.
En particular Fn contiene todos los miembros de Fn−1 así como una fracción adicional de cada número que es menor que n y coprimo con n. Por ejemplo, F6 contiene a F5 junto con las fracciones ¹⁄6 y 5⁄6.
Si para los enteros positivos a,b,c and d con a < b y c < d entonces a⁄b y c⁄d serán vecinos en una sucesión de Farey de orden max(b, d).
Cada fracción tiene dos expanciones en fracciones continuas - en una de ellas el último término es 1; en la otra el último término es mayor que 1.
Si, que aparece por primera vez en una sucesión de Farey Fq, tiene expansiones en fracciones continuas como entonces, el vecino más cercano de p⁄q en Fq (que será su vecino con mayor denominador) tiene una expansión en fracciones continuas como y su otro vecino tiene una expansión en fracciones continuas como Por ejemplo, 3⁄8 tiene dos expansiones en fracciones continuas [0,2,1,1,1] y [0,2,1,2], y sus vecinos en F8 son 2⁄5, que puede expandirse como [0,2,1,1], y 1⁄3, que puede expandirse como [0,2,1].
Para cada fracción irreducible p/q existe un círculo de Ford C[p/q], que es el círculo de radio 1/2q² y centro en (p/q,1/2q²).
Dos círculos de Ford pueden ser bien disjuntos bien tangentes entre sí - dos círculos de Ford nunca se intersecan.
En 1924 Jérôme Franel demostró que: es equivalente a la hipótesis de Riemann, y luego Edmund Landau observó (justo después de Franel) que la declaración:
