Grupo clásico
[5] Estos grupos suelen estar restringidos adicionalmente a los subgrupos cuyos elementos tienen determinante 1, por lo que sus centros son discretos.
Los grupos clásicos, con la condición de tener determinante 1, se enumeran en la siguiente tabla.
[6] Los grupos clásicos se pueden caracterizar uniformemente de manera diferente utilizando formas reales.
Los grupos clásicos (aquí con la condición del determinante 1, pero esta condición no es estrictamente necesaria) son los siguientes: Por ejemplo, SO∗(2n) es una forma real de SO(2n, C), SU(p, q) es una forma real de SL(n, C) y SL(n, H) es una forma real de SL(2n, C).
Por esta razón, se permite definir un espacio vectorial V sobre R y C, así como sobre H. En el caso de H, V es un espacio vectorial a la derecha para hacer posible la representación de la acción del grupo como una multiplicación de matrices desde la izquierda, al igual que para R y C.[8] Una forma φ: V × V → F en algún espacio vectorial a la derecha de dimensión finita sobre F = R, C, o H es bilineal si Se llama sesquilineal si Se eligen estas convenciones porque funcionan en todos los casos considerados.
Los grupos que conservan formas simétricas y antisimétricas se pueden estudiar por separado.
Lo mismo se aplica, mutatis mutandis, a las formas hermíticas y antihermíticas.
Por esta razón, a los efectos de la clasificación, solo se consideran formas puramente simétricas, antisimétricas, hermíticas o antihermíticas.
En otras palabras, una forma bilineal compleja con "signatura" (p, q) puede, mediante un cambio de base, reducirse a una forma en la que todos los signos son "+" en la expresión anterior, mientras que esto es imposible en el caso real, en el que p − q es independiente de la base cuando se pone en esta forma.
Una forma antihermítica en un espacio vectorial complejo se convierte en hermítica mediante la multiplicación por i, por lo que en este caso, solo H es interesante.
Las formas sesquilineales tienen expresiones similares y se tratan por separado más adelante.
En notación matricial se encuentra que y de (2) donde Φ es la matriz (φij).
Así, el álgebra de Lie se puede caracterizar sin referencia a una base, o al adjunto, como La forma normal de φ se dará para cada grupo clásico a continuación.
De esa forma normal, la matriz Φ se puede leer directamente.
Esto se demuestra a continuación en la mayoría de los casos no triviales.
La matriz Φ es en este caso después de reordenar la base si es necesario.
El álgebra de Lie se encuentra usando la ecuación (5) y un ansatz (enfoque) adecuado (esto se detalla para el caso de Sp(m, R) a continuación), y el grupo según (3) viene dado por Los grupos O(p, q) y O(q, p) son isomorfos a través de la aplicación Por ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de Lorentz podría escribirse como Naturalmente, es posible reorganizar la matriz para que el bloque q sea el superior izquierdo (o cualquier otro bloque).
Aquí el "componente de tiempo" termina como la cuarta coordenada en una interpretación física, y no la primera como puede ser más común.
Si φ es asimétrico y el espacio vectorial es real, hay una base que da donde n = 2m.
Si el caso φ es simétrico y el espacio vectorial es complejo, una base en la que solo se pueden utilizar signos más.
Para φ sesgado-simétrico y el complejo de espacio vectorial, la misma fórmula, se aplica como en el caso real.
Desde un punto de vista cualitativo, la consideración de formas antihermíticas (excluyendo isomorfismos) no proporciona nuevos grupos; la multiplicación por i hace que una forma antihermítica sea hermítica, y viceversa.
En este caso, Φ toma la forma y el álgebra de Lie está dada por El grupo está dado por A modo de comparación, una matriz unitaria U(n) se define como Debe señalarse que
La convención más común forzaría la multiplicación desde la derecha en una matriz fila para lograr lo mismo.
Por cierto, la representación anterior deja en claro que el grupo de cuaterniones unitarios (αα + ββ = 1 = det Q) es isomorfo a SU(2).
Más formalmente Una matriz T ∈ GL(2n, C) tiene la forma que se muestra en (8) si y solo si JnT = TJn.
Alternativamente, se puede definir esto como el núcleo del determinante de Dieudonné
Ahora se aplica prescripción (8) a cada bloque, y las relaciones en (9) se cumplirán si El álgebra de Lie se convierte en El grupo está dado por Volviendo a la forma normal de φ(w, z) por Sp(p, q), realizando las sustituciones de w → u + jv y z → x + jy por u, v, x, y ∈ Cn.
Los resultados del mismo criterio para Φ son Ahora, la última condición en (9) en notación compleja dice que El álgebra de Lie se convierte en y el grupo está dado por El grupo SO∗(2n) se puede caracterizar como donde la aplicación θ: GL(2n, C) → GL(2n, C) está definida por g ↦ −J2ngJ2n.
El grupo ortogonal On(R) conserva una forma cuadrática no degenerada en un módulo.
