Gérard Desargues fue el iniciador de la geometría proyectiva, pues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento.Y, aunque su trabajo se publicó en 1639, pasó desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes.[1] En el siglo XIX, la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica se establecieron dentro de las matemáticas, pero lo que acabó de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analítico.Dentro del contexto de la geometría euclidiana-cartesiana se puede construir la geometría proyectiva y, si se acepta la primera, hay que admitir la segunda.[1] Este proceso se concretó definitivamente a principios del siglo XX, pues Albert Einstein, apoyándose en los exhaustivos desarrollos geométricos de los matemáticos del siglo XIX, consiguió demostrar que, a gran escala, el universo se puede interpretar mejor con estas nuevas geometrías que con el rígido espacio euclidiano.[cita requerida] El principio antes expuesto se conoce como principio de dualidad y fue enunciado por Jean-Victor Poncelet en el siglo XIX.Muchos teoremas anteriores, como los de Blaise Pascal y Brianchon, son duales, aunque ningún matemático lo había notado hasta entonces.David Hilbert demostró, en 1899, que tal cosa es imposible, y desde entonces suele incluirse el teorema del hexágono de Pappus como un axioma de la geometría proyectiva.[cita requerida] Por el hecho de que no usa métricas en sus enunciados, se dice que la geometría proyectiva es una geometría de incidencia.La geometría proyectiva, más flexible que la euclidiana, se convierte con esto en una herramienta útil para enunciar más sencillamente muchos teoremas clásicos, incluso para simplificar las demostraciones, si bien no permite demostrar nada que no pueda demostrarse en la geometría euclidiana.[cita requerida] La geometría proyectiva puede entenderse, informalmente, como la geometría que se obtiene cuando el observador se coloca en un punto, mirando desde ese punto.[cita requerida] De esta forma, la geometría proyectiva también equivale a la proyección sobre un plano de un subconjunto del espacio en la geometría euclidiana tridimensional.Las rectas que llegan al ojo del observador se proyectan en puntos.Los planos definidos por cada par de ellas se proyectan en rectas.[cita requerida] Esto es útil porque a veces los teoremas de la geometría proyectiva no pueden demostrarse únicamente con los axiomas de incidencia antes expuestos (Hilbert, 1899), y es necesario demostrarlos en geometría euclidiana y luego proyectar, como el teorema de Desargues (o bien admitir el teorema de Pappus anteriormente citado como axioma).: A continuación describimos una interpretación de esta definición.son conjuntos formados por los múltiplos escalares de los vectores no nulos, esto es, sino es entonces otra cosa que el subespacio vectorial generado porAhí reside la esencia de un espacio proyectivo: se consideran sólo las direcciones, no los vectores concretos.Ante este hecho, para trabajar sólo con vectores y no con rectas vectoriales, se establece la relación de la definición, que resulta ser una relación de equivalencia: si(descartamos el 0 porque no tiene dirección), se obtiene la definición dada derespecto de la base tomada tiene que ser necesariamente no nula.Al multiplicar escalarmente el vector no nulo por el inverso de esa coordenada no nula, se obtendrá otro vector de la misma recta vectorial, en el que ahora la coordenada no nula elegida valdrá 1.[cita requerida] Para ilustrar lo anterior, véase este ejemplo: Considérese el espacio vectorial real(con la base canónica) y el vector no nuloCuatro de las cinco coordenadas son no nulas, así que se tienen cuatro posibles maneras de realizar el proceso anterior: en el primer caso (dividiendo entre la primera coordenada, el 8), se obtendría[cita requerida] Es decir, los puntos del espacio proyectivo creado a partir devienen dados por cinco coordenadas salvo producto por escalar no nulo.En general se pueden definir coordenadas homogéneas a partir de puntos del propio espacio proyectivo y no directamente a partir de una base del espacio vectorial; para ello los puntos de partida deben cumplir ciertas condiciones: ser una referencia proyectiva.En ese artículo se detalla cómo construir las coordenadas homogéneas del espacio proyectivo a partir de los puntos solamente.
La luz del objeto llega al ojo del observador, pasando por el plano del dibujo. La geometría proyectiva analiza esto matemáticamente, estudiando las propiedades de incidencia.
