Superficie de Veronese
En matemáticas, la superficie de Veronese es una superficie algebraica en el espacio proyectivo de cinco dimensiones, y se determina mediante la inclusión de Veronese, el embebido del plano proyectivo dado por el sistema lineal de cónicas completo.
Lleva el nombre del matemático italiano Giuseppe Veronese (1854-1917).
Su generalización a una dimensión superior se conoce como la variedad de Veronese.
La superficie admite una incrustación en el espacio proyectivo de cuatro dimensiones definido por la proyección desde un punto general en el espacio de cinco dimensiones.
Su proyección general al espacio proyectivo tridimensional se llama superficie de Steiner.
Es objeto de estudio en el campo del diseño geométrico asistido por ordenador.
Una cónica es una curva plana de grado 2, así definida por una ecuación: El emparejamiento entre coeficientes
{\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}
la condición de que una cónica contenga el punto es una ecuación lineal en los coeficientes, que formaliza la afirmación de que "pasar por un punto impone una condición lineal a las cónicas".
La superficie se puede proyectar sin problemes en cuatro dimensiones, pero todas las proyeccions tridimensionales tienen singularidades.
Es decir, la aplicación de Veronese de grado d es la aplicación con m dado por el coeficiente del multiconjunto, o más familiarmente, el coeficiente binomial, como: La aplicación envía
entonces d generalmente se toma como 2 o más.
son sus potencias simétricas de grado d. Esto es homogéneo de grado d bajo la multiplicación escalar en V, y por lo tanto, pasa a una aplicación en los espacios proyectivos subyacentes.
Si el espacio vectorial V se define sobre un campo K que no tiene la característica cero, entonces la definición debe modificarse para que se entienda como una aplicación al espacio dual de polinomios en V.
Esto es así porque para campos con característica finita p, las p-ésimas potencias de elementos de V no son curvas normales racionales, pero son, por supuesto, una línea (véase por ejemplo, polinomio aditivo para el tratamiento de polinomios sobre un campo de características finitas).
La imagen de una variedad bajo la aplicación de Veronese es nuevamente una variedad, más que simplemente un conjunto constructivo.
Además, estos son isomórficos en el sentido de que la aplicación inversa existe y es regular: la aplicación de Veronese es birregular.
Más precisamente, las imágenes de conjuntos abiertos en la topología de Zariski están nuevamente abiertas.
