Sin embargo, el término geometría elíptica se aplica tanto a geometrías esféricas como proyectivas, por lo que el término conlleva cierta ambigüedad para los poliedros.El calificador "globalmente" contrasta con los poliedros proyectivos "localmente", definidos en la teoría de politopos abstractos.Por otro lado, el tetraedro no tiene simetría central, por lo que no existe el "hemitetraedro" (véase a continuación el apartado dedicado a la relación con los poliedros esféricos).Como estos no definen poliedros esféricos (porque pasan por el centro, que no corresponde a un punto definido en la esfera), no definen poliedros proyectivos mediante el mapa cociente del espacio tridimensional (menos el origen) con respecto al plano proyectivo.Además, debido a que un espacio recubridor es un homeomorfismo local (en este caso, una isometría), tanto el poliedro esférico como el proyectivo correspondiente están asociados al mismo politopo abstracto.Por ejemplo, el recubrimiento doble del hemicubo (proyectivo) es el cubo (esférico).Los poliedros esféricos sin simetría central no definen un poliedro proyectivo, ya que las imágenes de vértices, aristas y caras se superpondrán.En el lenguaje de los teselados, la imagen en el plano proyectivo es un teselado de grado 2, lo que significa que recubre el plano proyectivo dos veces (en lugar de 2 caras en la esfera correspondientes a 1 cara en el plano proyectivo, cubriéndola dos veces, cada cara en la esfera corresponde a una sola cara en el plano proyectivo), por lo que la recubre dos veces como se ha señalado.Su imagen en el plano proyectivo tiene 4 vértices, 6 aristas (que se cortan) y 4 caras (que se superponen), cubriendo el plano proyectivo dos veces.Definir politopos proyectivos de dimensión k en un espacio proyectivo de dimensión n es algo más complicado, porque la definición habitual de politopos en el espacio euclídeo requiere tomar combinaciones convexas de puntos, que no es un concepto proyectivo y se aborda con poca frecuencia en la bibliografía, aunque se ha definido en algunos casos (como en Vives y Mayo, 1991).Así, en particular, el grupo de simetría de un poliedro proyectivo es el grupo de simetría "rotacional" del poliedro esférico que lo cubre; el grupo de simetría completa del poliedro esférico es entonces solo el producto directo con simetría central, que es el núcleo en el paso al espacio proyectivo.El plano proyectivo no es orientable y, por lo tanto, no existe una noción distinta de "isometrías que conservan la orientación de un poliedro proyectivo", que se refleja en la igualdad PSO(3) = PO(3).Debe tenerse en cuenta que el mismo diagrama conmutativo de subgrupos está presente para el cuadrado del grupo espinorial y grupo pinorial – espin(2), Pin+(2), SO(2), O(2) – aquí ascendiendo a un recubrimiento doble, en lugar de descender a un cociente de 2 lóbulos.) ya que la esfera es simplemente conexa y, por lo tanto, no existe un "politopo binario" correspondiente para el cual los subgrupos pinoriales sean grupos de simetría.
