Politopo convexo

Los términos "politopo convexo acotado/no acotado" se usarán a continuación cuando el límite sea crítico para el problema tratado.Sin embargo, otros textos tratan un n-politopo convexo como una superficie o una (n-1)-variedad.Los politopos convexos desempeñan un papel importante tanto en varias ramas de las matemáticas como en ciencias aplicadas, especialmente en programación lineal.Un libro completo e influyente sobre el tema, llamado Convex Polytopes, fue publicado en 1967 por Branko Grünbaum.En 2003 se publicó la segunda edición del libro, con un importante material adicional aportado por los nuevos redactores.Grünbaum señala que esto es solo para evitar la repetición interminable de la palabra "convexo", y que la discusión debe entenderse como aplicable solo a la variedad convexa.Dicha definición se denomina representación de semiespacios (H-representación o H-descripción).[1]​ Un semiespacio puede denotarse como una desigualdad lineal:[1]​ donde n es la dimensión del espacio que contiene el politopo dado.Por lo tanto, un politopo convexo cerrado puede considerarse como el conjunto de soluciones para la desigualdad lineal: donde m es el número de semiespacios que definen el politopo.La definición anterior asume que el politopo es de dimensión total.Si no lo es, entonces la solución de Ax ≤ b se encuentra en un espacio afín propio de Rn y la discusión del politopo puede estar restringida a este subespacio.En general, la intersección de semiespacios arbitrarios no necesita estar delimitada.Sin embargo, si se desea tener una definición equivalente a la de un casco convexo, entonces el límite debe ser considerado explícitamente.Sin embargo, los politopos no son en general isomorfos a los símplex.Dado un politopo convexo P definido por la desigualdad de la matriz[4]​ Kalai (1988)[5]​ ofrece una prueba simple basada en orientaciones de sumidero únicas.Un politopo convexo puede descomponerse en un complejo simplicial, o unión de símplex, satisfaciendo ciertas propiedades.Dado un politopo convexo P de dimensión r, un subconjunto de sus vértices que contenga (r + 1) puntos afínmente independientes, define un r-símplex.