Politopo abstracto

Esta estructura común puede representarse en un politopo abstracto subyacente, un conjunto parcialmente ordenado puramente algebraico que captura el patrón de conexiones (o "incidencias)" entre los diversos elementos estructurales.En un politopo abstracto, cada elemento estructural (vértice, arista, cara, celda...) está asociado con un miembro correspondiente del conjunto.En un politopo abstracto, ∅ se identifica por convención como la cara menor o nula y es una subcara de todas las demás.Así F−1 ≡ ∅ y el politopo abstracto también contiene el conjunto vacío como elemento,[2]​ aunque no suele representarse.[3]​ Las caras del cuadrilátero o cuadrado abstracto se muestran en la siguiente tabla: La relación < comprende un conjunto de pares, que aquí incluyen Las relaciones de orden son transitivas, es decir, F < G y G < H implica que F < H. Por lo tanto, para especificar la jerarquía de las caras, no es necesario dar todos los casos de F < H, sólo las parejas donde uno sea el sucesor del otro, es decir, donde F  ;< H y G no satisface que F < G < H. Las aristas W, X, Y y Z a veces se escriben como ab, ad, bc y cd respectivamente, pero tal notación no siempre es apropiada.Por convención, las caras de igual orden se colocan en el mismo nivel vertical.El diagrama de Hasse define un poset único y, por lo tanto, captura completamente la estructura del politopo.Para un politopo dado, todas las banderas contienen el mismo número de caras.Este concepto de sección no tiene el mismo significado que en la geometría tradicional.Un poset P está conectado si P tiene un orden ≤ 1 o, dadas dos caras propias cualesquiera F y G, hay una secuencia de caras propias tal que F = H1, G = Hk, y cada Hi, i < k, es incidente con su sucesor.La condición anterior asegura que un par de triángulos disjuntos abc y xyzno sea un politopo (único).Con este requisito adicional, también se excluyen dos pirámides que comparten solo un vértice.Estos son, respectivamente, la cara nula y el punto, elementos que no siempre se consideran politopos abstractos válidos.Las caras de un politopo abstracto se describen usando la "notación de vértice", por ejemplo, la expresión {ø, a, b, c, ab, ac, bc, abc} denota la configuración del triángulo abc.El concepto de politopo abstracto es más general y también incluye: El dígono está generalizado por el hosoedro y los hosótopos de dimensiones superiores, que se pueden realizar como poliedros esféricos que teselan la esfera.Cuatro ejemplos de poliedros abstractos no tradicionales son el hemicubo (véase la imagen), el hemioctaedro, el hemidodecaedro y el hemicosaedro.En el campo abstracto, el dual es el mismo politopo pero con el orden invertido: el diagrama de Hasse difiere solo en sus anotaciones.Esta es una condición más débil que la regularidad para los politopos tradicionales, ya que se refiere al grupo de automorfismos (combinatorio), no al grupo de simetría (geométrico).[12]​[13]​ El cono de realización del politopo abstracto tiene una dimensión algebraica infinita incontable, y no puede ser cerrado en la topología euclídea.Es decir, supóngase que P es el politopo universal con facetas K y figuras de vértice L. Entonces cualquier otro politopo Q con estas facetas y figuras de vértice se puede escribir Q=P/N, donde Q=P/N se llama cociente de P, y se dice que P recubre Q.Este teselado tiene infinitos cocientes con caras cuadradas, cuatro por vértice, algunos regulares y otros no.Excepto por el politopo universal en sí, todos corresponden a varias formas de teselar un toro o un cilindro infinitamente largo con cuadrados.El 11-celdas, descubierto de forma independiente por Harold Scott MacDonald Coxeter y Branko Grünbaum, es un 4-politopo abstracto.Al igual que el 11-celdas, también es universal, siendo el único politopo con facetas hemidodecaédricas y figuras de vértice hemicosaédricas.Por otro lado, existen muchos otros politopos con facetas hemidodecaédricas y de tipo Schläfli {5,3,5}.Por ejemplo, si K y L son cuadrados (y por lo tanto topológicamente son lo mismo que círculos), P será una teselación del plano, toro o de la botella de Klein mediante cuadrados.Sin embargo, esta terminología posee un punto débil, dado que no permite una manera fácil de describir un politopo cuyas facetas son toros y cuyas figuras de vértice son planos proyectivos, por ejemplo.Sin embargo, se ha avanzado mucho en la clasificación completa de los politopos regulares localmente toroidales.Los elementos de diferente tipo del mismo orden claramente nunca son incidentes, por lo que el valor siempre será 0.Sin embargo, para ayudar a distinguir tales relaciones, se usa un asterisco (*) en lugar de 0.