En topología, el teorema de Seifert-van Kampen (a veces llamado teorema de van Kampen), es un importante resultado de topología algebraica que permite expresar el grupo fundamental de un espacio topológico
a partir de los grupos fundamentales de dos abiertos que recubren
La fuerza de este teorema reside en que permite obtener el grupo fundamental de un espacio a partir de espacios más sencillos.
El teorema de Seifert-van Kampen tiene, sin embargo, limitaciones: por sí mismo no permite calcular el grupo fundamental de la circunferencia
, que es un resultado básico de la topología algebraica.
Existen distintas fomulaciones equivalentes del teorema de Seifert-van Kampen, por lo que se muestran aquí dos, la primera inspirada en la formulación del teorema en el libro Algebraic Topology de Allen Hatcher[1], y la segunda inspirada en la formulación del teorema en la enciclopedia nLab[2].
La primera será en general más útil pues permite escribir el grupo fundamental del espacio como un cociente de grupos.
un espacio topológico y sean
las inclusiones canónicas de la intersección en los abiertos, y sea el punto base
En esta formulación del teorema se usa la notación
para hacer referencia al morfismo de grupos indicido por
arcoconexos, podríamos omitir la notación de punto base, pues los grupos fundamentales no dependerán de él.
un espacio topológico recubierto por dos abiertos
Existe una generalización, descrita por Allen Hatcher que usa una familia de abiertos, en vez de sólo dos.
Debido a que los abiertos considerados en todo momento son arcoconexos por hipótesis, se omitirá el punto base de la notación de los grupos fundamentales.
), tal que: entonces el morfismo de grupos
Más aún, si además
es el subgrupo normal generado por todos los elementos de la forma
Los casos en los que n es 0 ó 1 están excuidos, ya que la
no es conexa y por tanto el teorema no aplica; y la
es un caso particular en el que el teorema de Seifert-van Kampen no puede usarse para hallar su grupo fundamental.
En el resto de casos sí puede usarse.
los polos norte y sur de la esfera
es arcoconexa, por lo que podemos aplicar el teorema de Seifert-van Kampen.
denota al grupo trivial.
Este resultado nos dice que todas las n-esferas son simplemente conexas excepto la
Según sus componentes arcoconexas, el grupo fundamental de la
simplemente conexa, por no ser arcoconexa.
El grupo fundamental de
; resultado más complicado de probar.