Característica de Euler
[1] Leonhard Euler, por quien se nombra el concepto, lo introdujo para los poliedros convexos de manera más general, pero no pudo probar rigurosamente que es un invariante.
Otros ejemplos se pueden encontrar en la siguiente tabla Un poliedro que no sea homeomorfo a una esfera, como el poliedro toroidal de la figura, que tiene 48 caras, 22 vértices y 70 aristas, el resultado obtenido es 22 - 70 + 48 = 0.
La característica de Euler se puede definir para conectados grafo planos mediante la misma fórmula
Esto se demuestra fácilmente por inducción sobre el número de caras determinado por G, comenzando con un árbol como caso base.
Si G tiene C componentes (grafos desconectados), el mismo argumento por inducción sobre F muestra que
Tras esta deformación, las caras regulares dejan de serlo en general.
Por tanto, demostrar la fórmula de Euler para el poliedro se reduce a demostrar que V - E + F = 1 para este objeto deformado y plano.
Si hay una cara con más de tres lados, dibuja una diagonal, es decir, una curva a través de la cara que conecta dos vértices que aún no están conectados.
Continúa añadiendo aristas de esta manera hasta que todas las caras sean triangulares.
Aplicar repetidamente cualquiera de las dos transformaciones siguientes, manteniendo el invariante de que la frontera exterior es siempre un ciclo simple: Estas transformaciones acaban reduciendo el grafo plano a un único triángulo.
Puesto que cada uno de los dos pasos de transformación anteriores conserva esta cantidad, hemos demostrado V - E + F = 1 para el objeto deformado, plano demostrando así V - E + F = 2 para el poliedro.
[3] Las superficies poliédricas de las que se ha hablado anteriormente son, en lenguaje moderno, complejos CW finitos bidimensionales.
(Cuando sólo se utilizan caras triangulares, son complejos simplicialeses finitos bidimensionales).
Para complejos simpliciales, esta no es la misma definición que en el párrafo anterior, pero un cálculo de homología muestra que las dos definiciones darán el mismo valor para
Por ejemplo, si deformamos un icosaedro hasta obtener una esfera las aristas se transformarán en curvas sobre la esfera, las caras serán "triángulos" y los vértices serán puntos sobre las mismas.
La relación es dada por: Por ejemplo: El toro (la rosquilla) tiene una asa y por lo tanto
Más generalmente aún, para cualquier espacio topológico, podemos definir el n-ésimo número de Betti bn como el rango del n-ésimo grupo de homología.
La homología es un invariante topológico, y además un invariante de homotopía: Dos espacios topológicos que son homotópicamente equivalentes tienen isomorfismo de grupos homológicos.
Por ejemplo, cualquier espacio contráctil (es decir, una homotopía equivalente a un punto) tiene homología trivial, lo que significa que el 0 º número de Betti es 1 y los demás 0.
de cualquier dimensión, así como la bola unitaria sólida en cualquier espacio euclídeo — el intervalo unidimensional, el disco bidimensional, la bola tridimensional, etc.
Por poner otro ejemplo, cualquier poliedro convexo es homeomorfo a la bola tridimensional, por lo que su superficie es homeomorfa (por tanto homotópicamente equivalente) a la esfera bidimensional, que tiene característica de Euler 2.
Esto explica por qué los poliedros convexos tienen característica de Euler 2.
