Teorema de Euler para poliedros

El teorema de Euler para poliedros es un teorema matemático de la geometría del espacio, Leonhard Euler en 1750, y publicado en la obra "Elementa doctrinae solidorum" en 1758.El teorema indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo sin orificios, ni entrantes.[1]​ Expresa una constante que no se altera en caso de rotaciones, traslaciones de dichos poliedros.En la proposición también concluye que solo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos varias relaciones: Detrás de la fórmula está el concepto topológico de la característicaLa fórmula del poliedro de Euler es el caso especial paraEn general, es válida (desde que se define así) para los poliedros de la característica= Número de lados del polígono regular= Número de aristas que convergen en los vértices La relación (1) se llama característica de Euler y sigue cumpliéndose para todos los poliedros convexos.Cabe decir que Euler jamás fue capaz de dar una demostración correcta de este resultado, de hecho la que aparece en su "Elementa doctrinae solidorum" era errónea.René Descartes se había ocupado de escribir el primer tratado sobre poliedros, pero murió antes de poder publicarlo.Tras su muerte, sus trabajos fueron trasladados a Francia, donde después de sufrir algún percance en dicho traslado (parece ser que cayeron a un río y fueron recuperados y secados), llegaron a las manos de Gottfried Wilhelm Leibniz, quien se encargó de transcribir parte de dichos trabajos.Fue Augustin Louis Cauchy quien, en 1811, publicó la primera demostración general que se conoce.Supóngase que se elimina una cara del poliedro.El resto del poliedro puede ser deformado, de manera que se convierta en una figura plana de puntos y curvas cuya frontera corresponda a las aristas de la cara eliminada (basta simplemente con proyectarlo sobre un plano).Al realizar la proyección, a pesar de que las caras pueden presentar una forma distinta, es evidente que el número de vértices, caras y aristas coinciden con los del poliedro de partida (suponiendo que la cara extraída corresponde al exterior de la figura).A continuación se aplican las siguientes transformaciones que simplifican la figura, pero que no afectan a la característica de Euler: Aplicando sucesivamente los pasos 2 y 3, al final queda un único triángulo.La convexidad es una condición demasiado fuerte: Sin embargo, excluye de forma fiable todos los casos que conducen a una violación del teorema del poliedro de Euler.Si estos errores se equilibran exactamente, se puede volver a cumplir el teorema del poliedro de Euler, por ejemplo, un cubo con un cuboide como agujero perforado (16 vértices, 24 aristas, 10 caras).Ambos tienen el mismo número de vértices y aristas.Sin embargo, el modelo de superficie del tetrahemihexaedro ya no representa un gráfico plano sin intersecciones.