Continuidad uniforme
se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de
producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios de
depende sólo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x donde se midan esos cambios (uniforme).
Concretamente, significa que para cualquier error
deseado para los valores que toma la función, por pequeño que sea, existe una distancia
de forma que nos centremos en el punto
del dominio donde nos centremos, si sólo consideramos puntos separados de
, sus imágenes tendrán un error respecto de
La diferencia con la continuidad (no uniforme) es que en esta última la distancia
a cada punto necesaria para asegurar que las imágenes tengan un error menor que
puede depender del punto del dominio considerado, mientras que para la continuidad uniforme debe existir un
que valga simultáneamente para todos los puntos del dominio.
de la imagen de abajo a la derecha no es uniformemente continua (aunque sí que es continua).
Para ver esto, nótese que para conseguir un mismo error en las imágenes de la función, para puntos cercanos a 0 debemos restringir los puntos considerados a distancias infinitamente pequeñas; no existe pues una misma distancia
que sirva para todos: para cualquier supuesta distancia
que sirviera, podríamos encontrar puntos (cercanos a 0) para los cuales los valores de la función en un entorno de diámetro
alrededor del punto variaran tanto como queramos.
se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real
, es decir, usando cuantificadores, si
se cumple que si
puede depender del punto x, en las funciones uniformemente continuas no depende del punto considerado.
Esta última se define como sigue:
Es decir, para la continuidad uno primero toma un punto arbitrario
y luego debe encontrar un
que valga para ese punto (luego puntos distintos pueden usar deltas distintos):
mientras que para la continuidad uniforme uno primero debe encontrar un
que luego le sirva para cualquier punto
en el que quiera comprobar la condición:
Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua.
En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).
